Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, между которыми 300 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приезжает на 1 час раньше…
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, между которыми 300 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приезжает на 1 час раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля
Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть два автомобиля, которые выезжают одновременно из одного города в другой, и нам нужно найти их скорости.
Обозначим переменные
- Пусть скорость второго автомобиля равна \( v \) (км/ч).
- Тогда скорость первого автомобиля будет равна \( v + 10 \) (км/ч), так как он быстрее второго на 10 км/ч.
Составим уравнения
Расстояние между городами равно 300 км. Время, которое затрачивает автомобиль, можно выразить через расстояние и скорость.
Время, затраченное вторым автомобилем: \[ t_2 = \frac{300}{v} \]
Время, затраченное первым автомобилем: \[ t_1 = \frac{300}{v + 10} \]
Условие задачи
Согласно условию, первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго, поэтому мы можем записать уравнение:
\[ t_2 - t_1 = 1 \]
Подставим выражения для времени
Подставим наши выражения в уравнение:
\[ \frac{300}{v} - \frac{300}{v + 10} = 1 \]
Упростим уравнение
Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель, которым будет \( v(v + 10) \):
\[ 300(v + 10) - 300v = v(v + 10) \]
Упростим:
\[ 300v + 3000 - 300v = v^2 + 10v \]
Это сокращается до:
\[ 3000 = v^2 + 10v \]
Преобразуем уравнение
Перепишем уравнение в стандартном виде:
\[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \]
Решим квадратное уравнение
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) \] \[ D = 100 + 12000 = 12100 \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} \]
Так как \( \sqrt{12100} = 110 \):
\[ v = \frac{-10 \pm 110}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения для \( v \):
- \( v = \frac{100}{2} = 50 \) (это положительное значение)
- \( v = \frac{-120}{2} = -60 \) (это отрицательное значение, не подходит)
Таким образом, скорость второго автомобиля \( v = 50 \) км/ч.
Найдем скорость первого автомобиля
Теперь найдем скорость первого автомобиля:
\[ v + 10 = 50 + 10 = 60 \text{ км/ч} \]
Ответ
- Скорость второго автомобиля: 50 км/ч
- Скорость первого автомобиля: 60 км/ч
Проверка
Теперь давайте проверим, являются ли решения правильными. Время, которое затрачивает второй автомобиль:
\[ t_2 = \frac{300}{50} = 6 \text{ часов} \]
И время, которое затрачивает первый автомобиль:
\[ t_1 = \frac{300}{60} = 5 \text{ часов} \]
Разница во времени:
\[ t_2 - t_1 = 6 - 5 = 1 \text{ час} \]
Условие задачи выполнено. Значит, решения верны!
Обсуждение
2 сообщенияКатер проплыл 24 км по течению реки и 16 км против течения, затратив на весь путь 4 часа. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 10 км/ч.
Давайте решим задачу по шагам.
Обозначим переменные:
- Пусть скорость течения реки равна \( v_t \) км/ч.
- Скорость катера в стоячей воде равна 10 км/ч.
Скорости катера:
По течению реки: \[ v_{\text{по течению}} = 10 + v_t \]
Против течения реки: \[ v_{\text{против течения}} = 10 - v_t \]
Время в пути:
Пусть \( t_1 \) — время, затраченное на путь по течению, а \( t_2 \) — время на путь против течения.
Для пути по течению (24 км): \[ t_1 = \frac{24}{10 + v_t} \]
Для пути против течения (16 км): \[ t_2 = \frac{16}{10 - v_t} \]
Общее время:
Согласно условию, общее время в пути составляет 4 часа: \[ t_1 + t_2 = 4 \]
Подставим выражения для времени:
Подставим \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ \frac{24}{10 + v_t} + \frac{16}{10 - v_t} = 4 \]
Упрощение уравнения:
Умножаем все уравнение на общий знаменатель \( (10 + v_t)(10 - v_t) \):
\[ 24(10 - v_t) + 16(10 + v_t) = 4(10 + v_t)(10 - v_t) \]
Раскроем скобки:
Левая часть:
\[ 240 - 24v_t + 160 + 16v_t = 400 - 4v_t^2 \]
Соберем подобные члены:
\[ 400 - 8v_t = 400 - 4v_t^2 \]
Переносим все в одну часть:
\[ 4v_t^2 - 8v_t = 0 \]
Выносим общий множитель:
\[ 4v_t(v_t - 2) = 0 \]
Находим корни:
- \( 4v_t = 0 \) → \( v_t = 0 \) (не подходит, поскольку течения нет);
- \( v_t - 2 = 0 \) → \( v_t = 2 \) км/ч.
Ответ:
Скорость течения реки составляет 2 км/ч.
