Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, между которыми 300 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приезжает на 1 час раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля

Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть два автомобиля, которые выезжают одновременно из одного города в другой, и нам нужно найти их скорости. ### Обозначим переменные 1. Пусть скорость второго автомобиля равна \( v \) (км/ч). 2. Тогда скорость первого автомобиля будет равна \( v + 10 \) (км/ч), так как он быстрее второго на 10 км/ч. ### Составим уравнения Расстояние между городами равно 300 км. Время, которое затрачивает автомобиль, можно выразить через расстояние и скорость. - Время, затраченное вторым автомобилем: \[ t_2 = \frac{300}{v} \] - Время, затраченное первым автомобилем: \[ t_1 = \frac{300}{v + 10} \] ### Условие задачи Согласно условию, первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго, поэтому мы можем записать уравнение: \[ t_2 - t_1 = 1 \] ### Подставим выражения для времени Подставим наши выражения в уравнение: \[ \frac{300}{v} - \frac{300}{v + 10} = 1 \] ### Упростим уравнение Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель, которым будет \( v(v + 10) \): \[ 300(v + 10) - 300v = v(v + 10) \] Упростим: \[ 300v + 3000 - 300v = v^2 + 10v \] Это сокращается до: \[ 3000 = v^2 + 10v \] ### Преобразуем уравнение Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \] ### Решим квадратное уравнение Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) \] \[ D = 100 + 12000 = 12100 \] Теперь находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} \] Так как \( \sqrt{12100} = 110 \): \[ v = \frac{-10 \pm 110}{2} \] Теперь найдем два возможных значения для \( v \): 1. \( v = \frac{100}{2} = 50 \) (это положительное значение) 2. \( v = \frac{-120}{2} = -60 \) (это отрицательное значение, не подходит) Таким образом, скорость второго автомобиля \( v = 50 \) км/ч. ### Найдем скорость первого автомобиля Теперь найдем скорость первого автомобиля: \[ v + 10 = 50 + 10 = 60 \text{ км/ч} \] ### Ответ - Скорость второго автомобиля: **50 км/ч** - Скорость первого автомобиля: **60 км/ч** ### Проверка Теперь давайте проверим, являются ли решения правильными. Время, которое затрачивает второй автомобиль: \[ t_2 = \frac{300}{50} = 6 \text{ часов} \] И время, которое затрачивает первый автомобиль: \[ t_1 = \frac{300}{60} = 5 \text{ часов} \] Разница во времени: \[ t_2 - t_1 = 6 - 5 = 1 \text{ час} \] Условие задачи выполнено. Значит, решения верны!