Чтобы решить задачу, давайте сначала определимся с понятием арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Она обозначается как (a_1, a_2, a_3, \ldots), где:
- (a_1) — первый член,
- (d) — разность прогрессии.
Шаг 1: Найти первый член и разность
- Первый член ( (a_1) ) — это 18,3.
- Второй член ( (a_2) ) — это 17,5.
Теперь найдем разность ((d)):
[
d = a_2 - a_1 = 17,5 - 18,3 = -0,8
]
Шаг 2: Общее выражение для (n)-го члена
Члены арифметической прогрессии вычисляются по формуле:
[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
]
где (n) — номер члена прогрессии.
Подставим известные значения:
[
a_n = 18,3 + (n-1) \cdot (-0,8)
]
Упростим это:
[
a_n = 18,3 - 0,8(n-1)
]
[
a_n = 18,3 - 0,8n + 0,8
]
[
a_n = 19,1 - 0,8n
]
Шаг 3: Найти условия для положительных членов
Чтобы члены прогрессии были положительными, нужно, чтобы:
[
a_n > 0
]
Подставляем в неравенство:
[
19,1 - 0,8n > 0
]
Решим это неравенство:
[
19,1 > 0,8n
]
[
\frac{19,1}{0,8} > n
]
Теперь делим 19,1 на 0,8:
[
n < \frac{19,1}{0,8} = 23,875
]
Так как (n) должно быть натуральным числом, максимальное значение (n) — это 23. Таким образом, положительных членов в этой прогрессии 23.
Шаг 4: Найти наименьший положительный член
Теперь найдем наименьший положительный член, то есть (a_{23}):
[
a_{23} = 19,1 - 0,8 \cdot 23
]
Посчитаем:
[
a_{23} = 19,1 - 18,4 = 0,7
]
Таким образом, наименьший положительный член арифметической прогрессии — 0,7.
Ответ
- Количество положительных членов: 23
- Наименьший положительный член прогрессии: 0,7
