Сколько положительных членов содержится в арифметиче-ской прогрессии 18,3; 17,5; ...? Найдите наименьший положительный член этой прогрессии.
Чтобы решить задачу, давайте сначала определимся с понятием арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Она обозначается как \(a_1, a_2, a_3, \ldots\), где:
- \(a_1\) — первый член,
- \(d\) — разность прогрессии.
Шаг 1: Найти первый член и разность
- Первый член ( \(a_1\) ) — это 18,3.
- Второй член ( \(a_2\) ) — это 17,5.
Теперь найдем разность (\(d\)): \[ d = a_2 - a_1 = 17,5 - 18,3 = -0,8 \]
Шаг 2: Общее выражение для \(n\)-го члена
Члены арифметической прогрессии вычисляются по формуле: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] где \(n\) — номер члена прогрессии.
Подставим известные значения: \[ a_n = 18,3 + (n-1) \cdot (-0,8) \] Упростим это: \[ a_n = 18,3 - 0,8(n-1) \] \[ a_n = 18,3 - 0,8n + 0,8 \] \[ a_n = 19,1 - 0,8n \]
Шаг 3: Найти условия для положительных членов
Чтобы члены прогрессии были положительными, нужно, чтобы: \[ a_n > 0 \] Подставляем в неравенство: \[ 19,1 - 0,8n > 0 \] Решим это неравенство:
\[ 19,1 > 0,8n \] \[ \frac{19,1}{0,8} > n \]
Теперь делим 19,1 на 0,8: \[ n < \frac{19,1}{0,8} = 23,875 \]
Так как \(n\) должно быть натуральным числом, максимальное значение \(n\) — это 23. Таким образом, положительных членов в этой прогрессии 23.
Шаг 4: Найти наименьший положительный член
Теперь найдем наименьший положительный член, то есть \(a_{23}\): \[ a_{23} = 19,1 - 0,8 \cdot 23 \] Посчитаем: \[ a_{23} = 19,1 - 18,4 = 0,7 \]
Таким образом, наименьший положительный член арифметической прогрессии — 0,7.
Ответ
- Количество положительных членов: 23
- Наименьший положительный член прогрессии: 0,7
