Мотоциклист проезжает 240 км на 4 часов быстрее велосипедиста. Найдите их скорости, если скорость велосипедиста на а 30 км/ч меньше скорости мотоциклиста
Для решения задачи давайте введем переменные для обозначения скоростей мотоциклиста и велосипедиста:
- Пусть скорость мотоциклиста равна \( v_m \) км/ч.
- Следовательно, скорость велосипедиста будет \( v_b = v_m - 30 \) км/ч, так как он на 30 км/ч медленнее.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения времени в пути:
\[ t = \frac{s}{v}, \]
где \( t \) — время, \( s \) — расстояние, \( v \) — скорость.
Мотоциклист проезжает 240 км, его время в пути \( t_m \):
\[ t_m = \frac{240}{v_m}. \]
Велосипедист также проезжает 240 км, его время в пути \( t_b \):
\[ t_b = \frac{240}{v_b} = \frac{240}{v_m - 30}. \]
Согласно условию задачи, мотоциклист проезжает расстояние на 4 часа быстрее, значит:
\[ t_b - t_m = 4. \]
Подставляем значения:
\[ \frac{240}{v_m - 30} - \frac{240}{v_m} = 4. \]
Теперь решим это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( v_m(v_m - 30) \):
\[ \frac{240 v_m - 240(v_m - 30)}{v_m(v_m - 30)} = 4. \]
Упрощаем числитель:
\[ 240 v_m - 240 v_m + 7200 = 4 v_m(v_m - 30). \]
Здесь остается только:
\[ 7200 = 4v_m^2 - 120 v_m. \]
Перепишем это уравнение в стандартном виде:
\[ 4v_m^2 - 120v_m - 7200 = 0. \]
Теперь упростим уравнение, разделив его на 4:
\[ v_m^2 - 30v_m - 1800 = 0. \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
\[ v_m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = -30, c = -1800 \).
Считаем дискриминант:
\[ D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100. \]
Теперь находим корни:
\[ v_m = \frac{30 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{30 \pm 90}{2}. \]
Это дает два корня:
- \( v_m = \frac{120}{2} = 60 \) (верный корень, так как скорость не может быть отрицательной)
- \( v_m = \frac{-60}{2} = -30 \) (не имеет смысла в контексте задачи)
Теперь подставим \( v_m \) обратно для нахождения скорости велосипедиста:
\[ v_b = v_m - 30 = 60 - 30 = 30 \text{ км/ч}. \]
Итак, скорости мотоциклиста и велосипедиста:
- Скорость мотоциклиста \( v_m = 60 \) км/ч,
- Скорость велосипедиста \( v_b = 30 \) км/ч.
Ответ: Скорость мотоциклиста 60 км/ч, скорость велосипедиста 30 км/ч.
