Для решения задачи давайте введем переменные для обозначения скоростей мотоциклиста и велосипедиста:
- Пусть скорость мотоциклиста равна ( v_m ) км/ч.
- Следовательно, скорость велосипедиста будет ( v_b = v_m - 30 ) км/ч, так как он на 30 км/ч медленнее.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения времени в пути:
[
t = \frac{s}{v},
]
где ( t ) — время, ( s ) — расстояние, ( v ) — скорость.
Мотоциклист проезжает 240 км, его время в пути ( t_m ):
[
t_m = \frac{240}{v_m}.
]
Велосипедист также проезжает 240 км, его время в пути ( t_b ):
[
t_b = \frac{240}{v_b} = \frac{240}{v_m - 30}.
]
Согласно условию задачи, мотоциклист проезжает расстояние на 4 часа быстрее, значит:
[
t_b - t_m = 4.
]
Подставляем значения:
[
\frac{240}{v_m - 30} - \frac{240}{v_m} = 4.
]
Теперь решим это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет ( v_m(v_m - 30) ):
[
\frac{240 v_m - 240(v_m - 30)}{v_m(v_m - 30)} = 4.
]
Упрощаем числитель:
[
240 v_m - 240 v_m + 7200 = 4 v_m(v_m - 30).
]
Здесь остается только:
[
7200 = 4v_m^2 - 120 v_m.
]
Перепишем это уравнение в стандартном виде:
[
4v_m^2 - 120v_m - 7200 = 0.
]
Теперь упростим уравнение, разделив его на 4:
[
v_m^2 - 30v_m - 1800 = 0.
]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
[
v_m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где ( a = 1, b = -30, c = -1800 ).
Считаем дискриминант:
[
D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100.
]
Теперь находим корни:
[
v_m = \frac{30 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{30 \pm 90}{2}.
]
Это дает два корня:
- ( v_m = \frac{120}{2} = 60 ) (верный корень, так как скорость не может быть отрицательной)
- ( v_m = \frac{-60}{2} = -30 ) (не имеет смысла в контексте задачи)
Теперь подставим ( v_m ) обратно для нахождения скорости велосипедиста:
[
v_b = v_m - 30 = 60 - 30 = 30 \text{ км/ч}.
]
Итак, скорости мотоциклиста и велосипедиста:
- Скорость мотоциклиста ( v_m = 60 ) км/ч,
- Скорость велосипедиста ( v_b = 30 ) км/ч.
Ответ: Скорость мотоциклиста 60 км/ч, скорость велосипедиста 30 км/ч.
