В прямоугольном треугольнике один катет вдвое больше другого. Найдите отношение длин катета, гипотенузы и второго катета.
Чтобы решить задачу о прямоугольном треугольнике, где один катет вдвое больше другого, начнем с обозначения длин катетов.
- Обозначим короткий катет как \( a \).
- Поскольку один катет вдвое больше другого, второй катет будет равен \( 2a \).
Теперь, по теореме Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы \( c \):
\[ c^2 = a^2 + (2a)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ c^2 = a^2 + 4a^2 \]
Сложим подобные члены:
\[ c^2 = 5a^2 \]
Теперь, чтобы найти \( c \), нужно взять квадратный корень из обеих сторон:
\[ c = \sqrt{5a^2} \]
Это упрощается до:
\[ c = a\sqrt{5} \]
Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:
- Первый катет: \( a \)
- Второй катет: \( 2a \)
- Гипотенуза: \( a\sqrt{5} \)
Теперь мы можем найти отношение длин катетов и гипотенузы. Для наглядности запишем это в виде дробей:
Отношение первого катета к гипотенузе: \[ \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Отношение второго катета к гипотенузе: \[ \frac{2a}{a\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
Отношение первого и второго катетов: \[ \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, мы можем подвести итог и записать все отношения:
- Отношение первого катета к гипотенузе: \( 1 : \sqrt{5} \)
- Отношение второго катета к гипотенузе: \( 2 : \sqrt{5} \)
- Отношение первого катета ко второму катету: \( 1 : 2 \)
Это и есть искомые отношения между длинами катетов и гипотенузы в данном прямоугольном треугольнике.
