В прямоугольном треугольнике один катет вдвое больше другого. Найдите отношение длин катета, гипотенузы и второго катета.

Чтобы решить задачу о прямоугольном треугольнике, где один катет вдвое больше другого, начнем с обозначения длин катетов. 1. Обозначим короткий катет как \( a \). 2. Поскольку один катет вдвое больше другого, второй катет будет равен \( 2a \). Теперь, по теореме Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы \( c \): \[ c^2 = a^2 + (2a)^2 \] Раскроем скобки: \[ c^2 = a^2 + 4a^2 \] Сложим подобные члены: \[ c^2 = 5a^2 \] Теперь, чтобы найти \( c \), нужно взять квадратный корень из обеих сторон: \[ c = \sqrt{5a^2} \] Это упрощается до: \[ c = a\sqrt{5} \] Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника: - Первый катет: \( a \) - Второй катет: \( 2a \) - Гипотенуза: \( a\sqrt{5} \) Теперь мы можем найти отношение длин катетов и гипотенузы. Для наглядности запишем это в виде дробей: - Отношение первого катета к гипотенузе: \[ \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] - Отношение второго катета к гипотенузе: \[ \frac{2a}{a\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] - Отношение первого и второго катетов: \[ \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] Таким образом, мы можем подвести итог и записать все отношения: - Отношение первого катета к гипотенузе: \( 1 : \sqrt{5} \) - Отношение второго катета к гипотенузе: \( 2 : \sqrt{5} \) - Отношение первого катета ко второму катету: \( 1 : 2 \) Это и есть искомые отношения между длинами катетов и гипотенузы в данном прямоугольном треугольнике.