1. Если игрок выигрывает партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает – 0 баллов. Саша выигрывает с вероятностью 0,8. Постройте ряд распределения и вычислите математическое…

Для решения задач, связанных с вероятностными распределениями и расчетом математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения, нам необходимо рассмотреть каждую часть отдельно.

1. Задача о Саше

Условия:

• Саша выигрывает с вероятностью 0,8.
• Если он выигрывает, то получает 1 балл, если проигрывает – 0 баллов.
• Мы рассматриваем 2 игры.

Распределение:

Саша может заработать 0, 1 или 2 балла в двух партиях. Мы рассмотрим все возможные исходы:

• Выиграет обе партии (2 балла)
• Выиграет одну партию и проиграет одну партию (1 балл)
• Проиграет обе партии (0 баллов)

Вероятности:

1. Событие (2 балла): Играет 2 выигрыша. \[ P(2) = P(\text{выигрыш})^2 = 0,8^2 = 0,64 \]

2. Событие (1 балл): Играет 1 выигрыш, 1 проигрыш. Это может произойти в двух вариантах (выиграть первую и проиграть вторую, или наоборот). \[ P(1) = 2 \cdot P(1) \cdot P(0) = 2 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,32 \]

3. Событие (0 баллов): Играет 0 выигрышей. \[ P(0) = P(0)^2 = 0,2^2 = 0,04 \]

Рядом распределения:

Математическое ожидание (M): \[ M = (2 \cdot 0,64) + (1 \cdot 0,32) + (0 \cdot 0,04) = 1,28 + 0,32 + 0 = 1,6 \]

Дисперсия (D): Сначала находим \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = (2^2 \cdot 0,64) + (1^2 \cdot 0,32) + (0^2 \cdot 0,04) = (4 \cdot 0,64) + (1 \cdot 0,32) + 0 = 2,56 + 0,32 = 2,88 \] Теперь используем формулу для дисперсии: \[ D = E(X^2) - (M)^2 = 2,88 - (1,6)^2 = 2,88 - 2,56 = 0,32 \]

Стандартное отклонение (σ): \[ σ = \sqrt{D} = \sqrt{0,32} \approx 0,57 \]

2. Задача о Гале

Условия:

• Галя выигрывает с вероятностью 0,7, проигрывает с вероятностью 0,1, ничья – 0.
• В случае выигрыша – 1 балл, в случае проигрыша – -1 балл, в случае ничьей – 0 баллов.
• Мы рассматриваем 2 игры.

Распределение:

Галя может иметь 2, 0 или -2 балла в зависимости от исходов игр.

Вероятности:

1. Событие (2 балла): Играет 2 выигрыша. \[ P(2) = P(1)^2 = 0,7^2 = 0,49 \]

2. Событие (0 баллов): Возможны 2 случая: 1 выигрыш и 1 ничья или 1 ничья и 1 выигрыш (поскольку ничья не влияет на баллы).

   • Выигрыш и ничья: \[ P(\text{выигрыш, ничья}) = P(1) \cdot P(0) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14 \]
   • Ничья и выигрыш: \[ P(\text{ничья, выигрыш}) = P(0) \cdot P(1) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14 \] Сложим вероятности для ситуации (0 баллов): \[ P(0) = P(\text{1 выигрыш и 1 ничья}) + P(\text{1 ничья и 1 выигрыш}) = 0,14 + 0,14 = 0,28 \]

3. Событие (-2 балла): Играет 2 проигрыша. \[ P(-2) = P(-1)^2 = 0,1^2 = 0,01 \]

Рядом распределения:

Математическое ожидание (M): \[ M = (2 \cdot 0,49) + (0 \cdot 0,28) + (-2 \cdot 0,01) = 0,98 + 0 - 0,02 = 0,96 \]

Дисперсия (D): \[ E(X^2) = (2^2 \cdot 0,49) + (0^2 \cdot 0,28) + (-2^2 \cdot 0,01) = 4 \cdot 0,49 + 0 + 4 \cdot 0,01 = 1,96 + 0.04 = 2,00 \] \[ D = E(X^2) - (M)^2 = 2,00 - (0,96)^2 = 2,00 - 0,9216 = 1,0784 \]

Стандартное отклонение (σ): \[ σ = \sqrt{D} \approx \sqrt{1,0784} \approx 1,04 \]

Итоги

Для Саши:

• Математическое ожидание: 1,6
• Дисперсия: 0,32
• Среднее квадратичное отклонение: 0,57

Для Гали:

• Математическое ожидание: 0,96
• Дисперсия: 1,0784
• Среднее квадратичное отклонение: 1,04

Эти результаты показывают, какова вероятность получения определенного результата и каковы могут быть колебания в набранных баллах.