1. Если игрок выигрывает партию, он зарабатывает 1 балл,
если проигрывает – 0 баллов. Саша выигрывает с вероятностью 0,8.
Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратичное отклонение (округлите до сотых)
числа очков, которые может набрать Саша в двух партиях.
2. Если игрок выигрывает партию, он зарабатывает 1 балл,
если проигрывает – -1 балл, а в случае ничьей – 0 баллов. Галя
выигрывает с вероятностью 0,7, а проигрывает с вероятностью 0,1.
Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые
может набрать Галя в двух партиях.
Для решения задач, связанных с вероятностными распределениями и расчетом математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения, нам необходимо рассмотреть каждую часть отдельно.
### 1. Задача о Саше
**Условия:**
- Саша выигрывает с вероятностью 0,8.
- Если он выигрывает, то получает 1 балл, если проигрывает – 0 баллов.
- Мы рассматриваем 2 игры.
**Распределение:**
Саша может заработать 0, 1 или 2 балла в двух партиях. Мы рассмотрим все возможные исходы:
- Выиграет обе партии (2 балла)
- Выиграет одну партию и проиграет одну партию (1 балл)
- Проиграет обе партии (0 баллов)
**Вероятности:**
1. **Событие (2 балла):** Играет 2 выигрыша.
\[
P(2) = P(\text{выигрыш})^2 = 0,8^2 = 0,64
\]
2. **Событие (1 балл):** Играет 1 выигрыш, 1 проигрыш. Это может произойти в двух вариантах (выиграть первую и проиграть вторую, или наоборот).
\[
P(1) = 2 \cdot P(1) \cdot P(0) = 2 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,32
\]
3. **Событие (0 баллов):** Играет 0 выигрышей.
\[
P(0) = P(0)^2 = 0,2^2 = 0,04
\]
**Рядом распределения:**
| Количество баллов | Вероятность |
| ------------------ | ----------- |
| 2 | 0,64 |
| 1 | 0,32 |
| 0 | 0,04 |
**Математическое ожидание (M):**
\[
M = (2 \cdot 0,64) + (1 \cdot 0,32) + (0 \cdot 0,04) = 1,28 + 0,32 + 0 = 1,6
\]
**Дисперсия (D):**
Сначала находим \(E(X^2)\):
\[
E(X^2) = (2^2 \cdot 0,64) + (1^2 \cdot 0,32) + (0^2 \cdot 0,04) = (4 \cdot 0,64) + (1 \cdot 0,32) + 0 = 2,56 + 0,32 = 2,88
\]
Теперь используем формулу для дисперсии:
\[
D = E(X^2) - (M)^2 = 2,88 - (1,6)^2 = 2,88 - 2,56 = 0,32
\]
**Стандартное отклонение (σ):**
\[
σ = \sqrt{D} = \sqrt{0,32} \approx 0,57
\]
### 2. Задача о Гале
**Условия:**
- Галя выигрывает с вероятностью 0,7, проигрывает с вероятностью 0,1, ничья – 0.
- В случае выигрыша – 1 балл, в случае проигрыша – -1 балл, в случае ничьей – 0 баллов.
- Мы рассматриваем 2 игры.
**Распределение:**
Галя может иметь 2, 0 или -2 балла в зависимости от исходов игр.
**Вероятности:**
1. **Событие (2 балла):** Играет 2 выигрыша.
\[
P(2) = P(1)^2 = 0,7^2 = 0,49
\]
2. **Событие (0 баллов):** Возможны 2 случая: 1 выигрыш и 1 ничья или 1 ничья и 1 выигрыш (поскольку ничья не влияет на баллы).
- Выигрыш и ничья:
\[
P(\text{выигрыш, ничья}) = P(1) \cdot P(0) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14
\]
- Ничья и выигрыш:
\[
P(\text{ничья, выигрыш}) = P(0) \cdot P(1) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14
\]
Сложим вероятности для ситуации (0 баллов):
\[
P(0) = P(\text{1 выигрыш и 1 ничья}) + P(\text{1 ничья и 1 выигрыш}) = 0,14 + 0,14 = 0,28
\]
3. **Событие (-2 балла):** Играет 2 проигрыша.
\[
P(-2) = P(-1)^2 = 0,1^2 = 0,01
\]
**Рядом распределения:**
| Количество баллов | Вероятность |
| ------------------ | ----------- |
| 2 | 0,49 |
| 0 | 0,28 |
| -2 | 0,01 |
**Математическое ожидание (M):**
\[
M = (2 \cdot 0,49) + (0 \cdot 0,28) + (-2 \cdot 0,01) = 0,98 + 0 - 0,02 = 0,96
\]
**Дисперсия (D):**
\[
E(X^2) = (2^2 \cdot 0,49) + (0^2 \cdot 0,28) + (-2^2 \cdot 0,01) = 4 \cdot 0,49 + 0 + 4 \cdot 0,01 = 1,96 + 0.04 = 2,00
\]
\[
D = E(X^2) - (M)^2 = 2,00 - (0,96)^2 = 2,00 - 0,9216 = 1,0784
\]
**Стандартное отклонение (σ):**
\[
σ = \sqrt{D} \approx \sqrt{1,0784} \approx 1,04
\]
### Итоги
#### Для Саши:
- Математическое ожидание: 1,6
- Дисперсия: 0,32
- Среднее квадратичное отклонение: 0,57
#### Для Гали:
- Математическое ожидание: 0,96
- Дисперсия: 1,0784
- Среднее квадратичное отклонение: 1,04
Эти результаты показывают, какова вероятность получения определенного результата и каковы могут быть колебания в набранных баллах.
