1. Разложите на множители 32у⁵-х⁵. [3] 2. Используя метод неопределённых коэффициентов, разложите многочлен P(x) =6x⁴+5x³-3x²-2x+2 на множители, если многочлен Q(x) = 2x²-х-1 является делителем Р(х). 3. Вычислите пределы: a) lim x→∞ x⁴-4x³+x²/3x⁴+5x³+x b) lim x→-4 x³+64/x²-16 4. Вычислите предел lim x→∞ tg5x/sin4x [3] 5. Найдите производную функции у = √x• sin²x. [

### Решение задач #### Задача 1: Разложите на множители \(32u^5 - x^5\) Для данной задачи используем формулу разности кубов или пятого степени. Форма для разности двух степеней выглядит так: \[ a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) \] В нашем случае \( a = 2u \) и \( b = x \). Таким образом, мы можем переписать выражение: \[ 32u^5 - x^5 = (2u)^5 - x^5 \] Теперь применим формулу разности пятой степени: \[ (2u - x)((2u)^4 + (2u)^3x + (2u)^2x^2 + (2u)x^3 + x^4) \] Выполним возведение в степень: 1. \( (2u)^4 = 16u^4 \) 2. \( (2u)^3x = 8u^3x \) 3. \( (2u)^2x^2 = 4u^2x^2 \) 4. \( (2u)x^3 = 2ux^3 \) 5. \( x^4 = x^4 \) Теперь подставим эти значения в формулу: \[ = (2u - x)(16u^4 + 8u^3x + 4u^2x^2 + 2ux^3 + x^4) \] Таким образом, окончательное разложение на множители: \[ 32u^5 - x^5 = (2u - x)(16u^4 + 8u^3x + 4u^2x^2 + 2ux^3 + x^4) \] --- #### Задача 2: Разложите многочлен \(P(x) = 6x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 2x + 2\) на множители, используя \(Q(x) = 2x^2 - x - 1\) в качестве делителя. Первым шагом проверим, является ли \(Q(x)\) делителем \(P(x)\). Мы можем разделить \(P(x)\) на \(Q(x)\) методом деления многочленов. 1. Начинаем с \(6x^4\). Делим на старший член \(2x^2\), получаем \(3x^2\). 2. Умножаем \(3x^2\) на \(Q(x)\): \[ 3x^2(2x^2 - x - 1) = 6x^4 - 3x^3 - 3x^2 \] 3. Вычитаем из \(P(x)\): \[ (6x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 2x + 2) - (6x^4 - 3x^3 - 3x^2) = 8x^3 - 2x + 2 \] 4. Далее делим \(8x^3\) на \(2x^2\), получаем \(4x\). 5. Умножаем на \(Q(x)\): \[ 4x(2x^2 - x - 1) = 8x^3 - 4x^2 - 4x \] 6. Вычитаем: \[ (8x^3 - 2x + 2) - (8x^3 - 4x^2 - 4x) = 4x^2 + 2 \] 7. Следующий этап—разделить на \(2x^2\), получаем \(2\). 8. Умножаем: \[ 2(2x^2 - x - 1) = 4x^2 - 2x - 2 \] 9. Вычтем еще раз: \[ (4x^2 + 2) - (4x^2 - 2x - 2) = 2x + 4 \] Теперь, по итогам деления, мы имеем: \[ P(x) = Q(x)(3x^2 + 4x + 2) + (2x + 4) \] Следовательно, \(P(x)\) не делится целиком на \(Q(x)\); нужно еще раз проверить или уточнить, можно ли разложить \(3x^2 + 4x + 2\). --- #### Задача 3: Вычислите пределы **a)** \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 4x^3 + x^2}{3x^4 + 5x^3 + x}\) Для лимита при \(x \to \infty\) делим числитель и знаменатель на \(x^4\): \[ = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3}} = \frac{1 - 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{1}{3} \] **b)** \(\lim_{x \to -4} \frac{x^3 + 64}{x^2 - 16}\) Здесь можем использовать подстановку: \[ = \frac{(-4)^3 + 64}{(-4)^2 - 16} = \frac{-64 + 64}{16 - 16} \] это неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Сделаем факторизацию: \(x^3 + 64 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)\) и \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\). Упрощаем и выносим \((x + 4)\): \[ \lim_{x \to -4} \frac{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}{(x - 4)(x + 4)} = \lim_{x \to -4} \frac{x^2 - 4x + 16}{x - 4} = \frac{16 - 16 + 16}{-4 - 4} = \frac{16}{-8} = -2 \] --- #### Задача 4: Вычислите предел \(\lim_{x \to \infty} \frac{\tan(5x)}{\sin(4x)}\) Значения \(\tan\) и \(\sin\) oscillate при \(x \to \infty\). Поэтому мы должны использовать известные пределы: Так как обе функции бесконечны, мы считаем пределы: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\tan(5x)}{\sin(4x)} \] При большом \(x\) \(\tan(5x)\) и \(\sin(4x)\) ведут себя осциллирующе, поэтому лимит не существует, но при \(x \to \infty\) он будет не определен. --- #### Задача 5: Найдите производную функции \(y = \sqrt{x} \cdot \sin^2(x)\) Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения: \[ y' = u'v + uv' \] где \(u = \sqrt{x}\) и \(v = \sin^2(x)\). 1. \(u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) 2. Далее \(v = \sin^2(x)\), применяем правило цепи: \[ v' = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x) \] Считаем производную: \[ y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin^2(x)\right) + \left(\sqrt{x} \cdot \sin(2x)\right) \] То есть: \[ y' = \frac{\sin^2(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \sin(2x) \] Это и есть искомая производная.