1. Разложите на множители 32у⁵-х⁵. [3] 2. Используя метод неопределённых коэффициентов, разложите многочлен P(x) =6x⁴+5x³-3x²-2x+2 на множители, если многочлен Q(x) = 2x²-х-1…

Решение задач

Задача 1: Разложите на множители \(32u^5 - x^5\)

Для данной задачи используем формулу разности кубов или пятого степени. Форма для разности двух степеней выглядит так:

\[ a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) \]

В нашем случае \( a = 2u \) и \( b = x \). Таким образом, мы можем переписать выражение:

\[ 32u^5 - x^5 = (2u)^5 - x^5 \]

Теперь применим формулу разности пятой степени:

\[ (2u - x)((2u)^4 + (2u)^3x + (2u)^2x^2 + (2u)x^3 + x^4) \]

Выполним возведение в степень:

1. \( (2u)^4 = 16u^4 \)
2. \( (2u)^3x = 8u^3x \)
3. \( (2u)^2x^2 = 4u^2x^2 \)
4. \( (2u)x^3 = 2ux^3 \)
5. \( x^4 = x^4 \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ = (2u - x)(16u^4 + 8u^3x + 4u^2x^2 + 2ux^3 + x^4) \]

Таким образом, окончательное разложение на множители:

\[ 32u^5 - x^5 = (2u - x)(16u^4 + 8u^3x + 4u^2x^2 + 2ux^3 + x^4) \]

---

Задача 2: Разложите многочлен \(P(x) = 6x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 2x + 2\) на множители, используя \(Q(x) = 2x^2 - x - 1\) в качестве делителя.

Первым шагом проверим, является ли \(Q(x)\) делителем \(P(x)\). Мы можем разделить \(P(x)\) на \(Q(x)\) методом деления многочленов.

1. Начинаем с \(6x^4\). Делим на старший член \(2x^2\), получаем \(3x^2\).

2. Умножаем \(3x^2\) на \(Q(x)\): \[ 3x^2(2x^2 - x - 1) = 6x^4 - 3x^3 - 3x^2 \]

3. Вычитаем из \(P(x)\): \[ (6x^4 + 5x^3 - 3x^2 - 2x + 2) - (6x^4 - 3x^3 - 3x^2) = 8x^3 - 2x + 2 \]

4. Далее делим \(8x^3\) на \(2x^2\), получаем \(4x\).

5. Умножаем на \(Q(x)\): \[ 4x(2x^2 - x - 1) = 8x^3 - 4x^2 - 4x \]

6. Вычитаем: \[ (8x^3 - 2x + 2) - (8x^3 - 4x^2 - 4x) = 4x^2 + 2 \]

7. Следующий этап—разделить на \(2x^2\), получаем \(2\).

8. Умножаем: \[ 2(2x^2 - x - 1) = 4x^2 - 2x - 2 \]

9. Вычтем еще раз: \[ (4x^2 + 2) - (4x^2 - 2x - 2) = 2x + 4 \]

Теперь, по итогам деления, мы имеем: \[ P(x) = Q(x)(3x^2 + 4x + 2) + (2x + 4) \]

Следовательно, \(P(x)\) не делится целиком на \(Q(x)\); нужно еще раз проверить или уточнить, можно ли разложить \(3x^2 + 4x + 2\).

---

Задача 3: Вычислите пределы

a) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 4x^3 + x^2}{3x^4 + 5x^3 + x}\)

Для лимита при \(x \to \infty\) делим числитель и знаменатель на \(x^4\):

\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3}} = \frac{1 - 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{1}{3} \]

b) \(\lim_{x \to -4} \frac{x^3 + 64}{x^2 - 16}\)

Здесь можем использовать подстановку:

\[ = \frac{(-4)^3 + 64}{(-4)^2 - 16} = \frac{-64 + 64}{16 - 16} \]

это неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Сделаем факторизацию: \(x^3 + 64 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)\) и \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\).

Упрощаем и выносим \((x + 4)\):

\[ \lim_{x \to -4} \frac{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}{(x - 4)(x + 4)} = \lim_{x \to -4} \frac{x^2 - 4x + 16}{x - 4} = \frac{16 - 16 + 16}{-4 - 4} = \frac{16}{-8} = -2 \]

---

Задача 4: Вычислите предел \(\lim_{x \to \infty} \frac{\tan(5x)}{\sin(4x)}\)

Значения \(\tan\) и \(\sin\) oscillate при \(x \to \infty\). Поэтому мы должны использовать известные пределы:

Так как обе функции бесконечны, мы считаем пределы:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\tan(5x)}{\sin(4x)} \]

При большом \(x\) \(\tan(5x)\) и \(\sin(4x)\) ведут себя осциллирующе, поэтому лимит не существует, но при \(x \to \infty\) он будет не определен.

---

Задача 5: Найдите производную функции \(y = \sqrt{x} \cdot \sin^2(x)\)

Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения:

\[ y' = u'v + uv' \]

где \(u = \sqrt{x}\) и \(v = \sin^2(x)\).

1. \(u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
2. Далее \(v = \sin^2(x)\), применяем правило цепи: \[ v' = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x) \]

Считаем производную:

\[ y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin^2(x)\right) + \left(\sqrt{x} \cdot \sin(2x)\right) \] То есть:

\[ y' = \frac{\sin^2(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \sin(2x) \]

Это и есть искомая производная.