5. Альбина Яковлевна знает, что вероятность того, что саженец приживется на ее участке, равна 0,85. a) Какова вероятность того, что из 100 высаженных саженцев приживутся ровно 85?…
5. Альбина Яковлевна знает, что вероятность того, что саженец приживется на ее участке, равна 0,85. a) Какова вероятность того, что из 100 высаженных саженцев приживутся ровно 85? б) Вероятность какого события больше - приживутся ровно 85, ровно 86 или ровно 84? в) Что можно сказать про прогноз «Приживутся ровно 85 саженцев»? Лучше ли он любого другого прогноза? Насколько он определённый? Насколько он надёжный? г) Как построить прогноз с надежностью не менее 0,95? Как при этом изменится определённость прогноза?
Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение. Вероятность успеха (приживаемость саженцев) равна \( p = 0,85 \), а вероятность неудачи \( q = 1 - p = 0,15 \). Обозначим количество саженцев как \( n = 100 \).
Формула для вычисления вероятности успешного исхода при биномиальном распределении выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что приживется ровно \( k \) саженцев,
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь приступим к решению каждой части задачи.
a) Вероятность того, что из 100 высаженных саженцев приживутся ровно 85
Для нахождения этой вероятности подставим в формулу \( n = 100 \), \( k = 85 \), \( p = 0,85 \).
- Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( C(100, 85) \):
\[ C(100, 85) = \frac{100!}{85! \cdot 15!} \]
- Теперь подставим все значения в формулу для вероятности:
\[ P(X = 85) = C(100, 85) \cdot (0,85)^{85} \cdot (0,15)^{15} \]
Эти вычисления требует наличия калькулятора или программного обеспечения для более точного результата, но в результате можно получить значение.
b) Вероятность какого события больше - приживутся ровно 85, ровно 86 или ровно 84?
Для сравнения вероятностей \( P(X = 84) \), \( P(X = 85) \) и \( P(X = 86) \):
- Вычислим каждую из вероятностей, используя формулу для \( k = 84 \) и \( k = 86 \) аналогично:
\[ P(X = 84) = C(100, 84) \cdot (0,85)^{84} \cdot (0,15)^{16} \]
\[ P(X = 86) = C(100, 86) \cdot (0,85)^{86} \cdot (0,15)^{14} \]
- Сравним полученные значения. В общем случае, для значений, близких к \( np = 85 \), вероятности будут близки. Обычно вероятность приживания точно \( 85 \) саженцев будет больше, чем для \( 84 \) или \( 86 \).
c) Прогноз «Приживутся ровно 85 саженцев»
Касательно прогноза:
- Вероятность \( P(X = 85) \) может быть высокой, но она все же меньше 1. Прогноз "ровно" дает точное значение, которое не учитывает возможность колебаний.
- Такой прогноз не надежен в контексте случайных процессов, поскольку даже при высокой вероятности 85%, мы всегда имеем 15% шанса на что-то другое.
- Определенность прогноза не полная, так как в реальной жизни могут быть внешние факторы.
d) Как построить прогноз с надежностью не менее 0,95?
Для этого может использоваться подход с интервалом доверия. Например, можно определить диапазон вероятных значений саженцев, которые могут прижиться, например, \( np - z \cdot \sqrt{npq} \) и \( np + z \cdot \sqrt{npq} \), где \( z \) - значение из стандартного нормального распределения для заданного уровня доверия.
- Определяем стандартное отклонение:
\[ \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{100 \cdot 0,85 \cdot 0,15} \]
Выбираем \( z \) для доверительного уровня 0,95, что приблизительно равно 1,96.
Находим границы:
\[ [n \cdot p - z \cdot \sigma, n \cdot p + z \cdot \sigma] \]
Это даст диапазон, в рамках которого с высокой вероятностью (95%) будут находиться реальные значения.
Таким образом, мы можем построить прогноз, который будет менее определённым, но более надежным, учитывая вероятность колебаний.
