Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,7.…

Чтобы решить задачу о вероятности того, что стрелок поразит ровно четыре мишени из пяти, воспользуемся биномальным распределением.

В данной задаче:

• n = 5 (количество мишеней),
• k = 4 (количество мишеней, которые необходимо поразить),
• p = 0,7 (вероятность успешно поразить одну мишень).

Сначала определим количество способов, которыми стрелок может поразить ровно 4 мишени из 5. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента \( C(n, k) \), который рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n! \) (факториал n) – это произведение всех натуральных чисел до n.

Подставим значения:

\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]

Теперь мы можем использовать формулу биномиального распределения для вычисления вероятности:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Где \( P(X = k) \) – вероятность того, что ровно k успехов произойдет из n испытаний.

Теперь подставим наши значения:

• \( n = 5 \)
• \( k = 4 \)
• \( p = 0,7 \)
• \( 1 - p = 0,3 \)

Тогда:

\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^{5 - 4} \]

Посчитаем отдельно каждый компонент:

1. Количество способов: \[ C(5, 4) = 5 \]

2. Вероятность поразить 4 мишени: \[ (0,7)^4 = 0,7 \times 0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,2401 \]

3. Вероятность промаха по одной мишени: \[ (0,3)^{1} = 0,3 \]

Теперь подставим всё в формулу:

\[ P(X = 4) = 5 \cdot 0,2401 \cdot 0,3 \]

Теперь посчитаем это выражение:

\[ P(X = 4) = 5 \cdot 0,2401 \times 0,3 = 5 \cdot 0,07203 = 0,36015 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит ровно 4 мишени из 5, составляет примерно 0,36015, или 36,02%.