Чтобы решить задачу о вероятности того, что стрелок поразит ровно четыре мишени из пяти, воспользуемся биномальным распределением.
В данной задаче:
- n = 5 (количество мишеней),
- k = 4 (количество мишеней, которые необходимо поразить),
- p = 0,7 (вероятность успешно поразить одну мишень).
Сначала определим количество способов, которыми стрелок может поразить ровно 4 мишени из 5. Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента ( C(n, k) ), который рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Где ( n! ) (факториал n) – это произведение всех натуральных чисел до n.
Подставим значения:
[
C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5
]
Теперь мы можем использовать формулу биномиального распределения для вычисления вероятности:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
Где ( P(X = k) ) – вероятность того, что ровно k успехов произойдет из n испытаний.
Теперь подставим наши значения:
- ( n = 5 )
- ( k = 4 )
- ( p = 0,7 )
- ( 1 - p = 0,3 )
Тогда:
[
P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^{5 - 4}
]
Посчитаем отдельно каждый компонент:
Количество способов:
[
C(5, 4) = 5
]
Вероятность поразить 4 мишени:
[
(0,7)^4 = 0,7 \times 0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,2401
]
Вероятность промаха по одной мишени:
[
(0,3)^{1} = 0,3
]
Теперь подставим всё в формулу:
[
P(X = 4) = 5 \cdot 0,2401 \cdot 0,3
]
Теперь посчитаем это выражение:
[
P(X = 4) = 5 \cdot 0,2401 \times 0,3 = 5 \cdot 0,07203 = 0,36015
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит ровно 4 мишени из 5, составляет примерно 0,36015, или 36,02%.
