2x+y²=9 x²-y²=3

Для решения системы уравнений:

1. \( 2x + y^2 = 9 \)
2. \( x^2 - y^2 = 3 \)

мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае мы попробуем метод подстановки.

Шаг 1: Выразим y² из первого уравнения

Из первого уравнения \( 2x + y^2 = 9 \) выразим \( y^2 \):

\[ y^2 = 9 - 2x \]

Шаг 2: Подставим y² во второе уравнение

Теперь подставим \( y^2 \) из первого уравнения во второе уравнение:

\[ x^2 - y^2 = 3 \]

Заменим \( y^2 \):

\[ x^2 - (9 - 2x) = 3 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Упрощаем уравнение:

\[ x^2 - 9 + 2x = 3 \]

Добавляем 9 к обеим сторонам:

\[ x^2 + 2x - 12 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 12 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -12 \).

Подставим значения:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{2} \] \[ x = -1 \pm \sqrt{13} \]

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y

Теперь мы получаем два значения для \( x \):

1. \( x_1 = -1 + \sqrt{13} \)
2. \( x_2 = -1 - \sqrt{13} \)

Теперь подставим каждое значение \( x \) в уравнение \( y^2 = 9 - 2x \), чтобы найти соответствующие значения \( y \).

Для \( x_1 = -1 + \sqrt{13} \):

\[ y^2 = 9 - 2(-1 + \sqrt{13}) = 9 + 2 - 2\sqrt{13} = 11 - 2\sqrt{13} \]

Для \( x_2 = -1 - \sqrt{13} \):

\[ y^2 = 9 - 2(-1 - \sqrt{13}) = 9 + 2 + 2\sqrt{13} = 11 + 2\sqrt{13} \]

Шаг 6: Находим значения y

Теперь мы можем найти значения \( y \):

1. Для \( x_1 = -1 + \sqrt{13} \):

   • \( y = \pm \sqrt{11 - 2\sqrt{13}} \)

2. Для \( x_2 = -1 - \sqrt{13} \):

   • \( y = \pm \sqrt{11 + 2\sqrt{13}} \)

Шаг 7: Подводим итог

Таким образом, у нас есть четыре решения системы уравнений:

1. \( \left( -1 + \sqrt{13}, \sqrt{11 - 2\sqrt{13}} \right) \)
2. \( \left( -1 + \sqrt{13}, -\sqrt{11 - 2\sqrt{13}} \right) \)
3. \( \left( -1 - \sqrt{13}, \sqrt{11 + 2\sqrt{13}} \right) \)
4. \( \left( -1 - \sqrt{13}, -\sqrt{11 + 2\sqrt{13}} \right) \)

Это и есть решения вашей системы уравнений. Если вам нужно больше объяснений или практики, задавайте вопросы!