Дана геометрическая прогрессия первый член которой равен -27 и знаменатель равен 1/3 найдите сумму ее первых пяти членов

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, необходимо использовать формулу для суммы первых \( n \) членов. Для начала запомним, что в геометрической прогрессии первый член обозначается как \( a \), а знаменатель прогрессии (или общее отношение) — как \( q \). В нашей задаче: - Первый член \( a = -27 \) - Знаменатель \( q = \frac{1}{3} \) Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \] где: - \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов, - \( n \) — количество членов, которое мы хотим суммировать, - \( q \) — знаменатель прогрессии. В нашем случае мы хотим найти сумму первых пяти членов, то есть \( n = 5 \). Теперь подставим известные значения в формулу: \[ S_5 = -27 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5}{1 - \frac{1}{3}} \] Сначала вычислим знаменатель: \[ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{3}\right)^5 \): \[ \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243} \] Теперь подставим это значение обратно в формулу: \[ S_5 = -27 \frac{1 - \frac{1}{243}}{\frac{2}{3}} \] Для вычисления \( 1 - \frac{1}{243} \): \[ 1 - \frac{1}{243} = \frac{243}{243} - \frac{1}{243} = \frac{242}{243} \] Теперь подставим это значение в нашу формулу: \[ S_5 = -27 \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} \] Вычислим деление: \[ \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = \frac{726}{486} \] Теперь упростим \( \frac{726}{486} \): Обе части делятся на 6: \[ \frac{726 \div 6}{486 \div 6} = \frac{121}{81} \] Теперь подставим это значение назад в формулу для суммы: \[ S_5 = -27 \cdot \frac{121}{81} \] Вычислим это: \[ S_5 = -\frac{27 \cdot 121}{81} = -\frac{27}{81} \cdot 121 \] Упрощая \( \frac{27}{81} \): \[ \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \] Таким образом, \[ S_5 = -\frac{121}{3} \approx -40.33 \] Итак, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна \( -\frac{121}{3} \) или примерно \( -40.33 \).