дана геометрическая прогрессия первый член которой равен -27 и знаменатель равен 1/3 найдите сумму ее первых пяти членов

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, необходимо использовать формулу для суммы первых \( n \) членов.

Для начала запомним, что в геометрической прогрессии первый член обозначается как \( a \), а знаменатель прогрессии (или общее отношение) — как \( q \). В нашей задаче:

• Первый член \( a = -27 \)
• Знаменатель \( q = \frac{1}{3} \)

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( n \) — количество членов, которое мы хотим суммировать,
• \( q \) — знаменатель прогрессии.

В нашем случае мы хотим найти сумму первых пяти членов, то есть \( n = 5 \).

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[ S_5 = -27 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5}{1 - \frac{1}{3}} \]

Сначала вычислим знаменатель:

\[ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{3}\right)^5 \):

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243} \]

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

\[ S_5 = -27 \frac{1 - \frac{1}{243}}{\frac{2}{3}} \]

Для вычисления \( 1 - \frac{1}{243} \):

\[ 1 - \frac{1}{243} = \frac{243}{243} - \frac{1}{243} = \frac{242}{243} \]

Теперь подставим это значение в нашу формулу:

\[ S_5 = -27 \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} \]

Вычислим деление:

\[ \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = \frac{726}{486} \]

Теперь упростим \( \frac{726}{486} \):

Обе части делятся на 6:

\[ \frac{726 \div 6}{486 \div 6} = \frac{121}{81} \]

Теперь подставим это значение назад в формулу для суммы:

\[ S_5 = -27 \cdot \frac{121}{81} \]

Вычислим это:

\[ S_5 = -\frac{27 \cdot 121}{81} = -\frac{27}{81} \cdot 121 \]

Упрощая \( \frac{27}{81} \):

\[ \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \]

Таким образом,

\[ S_5 = -\frac{121}{3} \approx -40.33 \]

Итак, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна \( -\frac{121}{3} \) или примерно \( -40.33 \).