Вычислите

Для решения задачи нужно использовать формулу для синуса разности углов: \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \] ### Даны: 1. \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\), \(-\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). 2. \(\sin \beta = -\frac{24}{25}\), \(\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi\). #### Определение \(\sin \alpha\) Поскольку \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\) и \(-\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), выясним \(\sin \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим значение \(\cos \alpha\): \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Следовательно, \(\sin \alpha = \pm \frac{3}{5}\). **Учитывая, что \(-\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)**, \(\alpha\) находится во втором или третьем квадранте, где синус положителен или отрицателен. Однако, точный знак значения зависит от точного положения \(\alpha\), которое без дополнительной информации остаётся неопределённым. **Для целей задачи предположим, что** \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). #### Определение \(\cos \beta\) Используем основное тождество: \[ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \] Подставим значение \(\sin \beta\): \[ \left(-\frac{24}{25}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1 \] \[ \frac{576}{625} + \cos^2 \beta = 1 \] \[ \cos^2 \beta = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \] Следовательно, \(\cos \beta = \pm \frac{7}{25}\). \(\beta\) находится в четвёртом квадранте, где косинус положителен, поэтому \(\cos \beta = \frac{7}{25}\). ### Вычисление \(\sin(\alpha - \beta)\) Теперь подставим все значения в формулу: \[ \sin(\alpha - \beta) = \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{7}{25}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{24}{25}\right) \] \[ \sin(\alpha - \beta) = \frac{21}{125} - \frac{96}{125} \] \[ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{75}{125} = -\frac{3}{5} \] Таким образом, \(\sin(\alpha - \beta) = -\frac{3}{5}\).