у=2х²-х-1
Для того чтобы понять функцию \( y = 2x^2 - x - 1 \), давайте разберёмся с её характеристиками и как её можно проанализировать пошагово.
Шаг 1: Определение типа функции
Данная функция является квадратной (или параболической) функцией, так как её наивысший показатель степени \( x^2 \).
Шаг 2: Определение коэффициентов
В уравнении \( y = 2x^2 - x - 1 \) мы можем выделить следующие коэффициенты:
- \( a = 2 \) (коэффициент перед \( x^2 \)),
- \( b = -1 \) (коэффициент перед \( x \)),
- \( c = -1 \) (свободный член).
Шаг 3: Нахождение вершинной точки
Формула для нахождения координаты вершины параболы, выразимой в общем виде \( ax^2 + bx + c \), выглядит так:
\[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем наши коэффициенты:
\[ x_{вершины} = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \]
Теперь найдем значение функции \( y \) в этой точке, подставив \( x = \frac{1}{4} \):
\[ y = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} - 1 \] \[ y = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 1 \] \[ y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} \] \[ y = \frac{1 - 2 - 8}{8} = \frac{-9}{8} \]
Таким образом, координаты вершины параболы: \( \left( \frac{1}{4}, -\frac{9}{8} \right) \).
Шаг 4: Нахождение корней уравнения
Для нахождения корней квадратного уравнения можно использовать дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставляем наши значения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
Так как \( D > 0 \), у нашего уравнения два различных корня. Находим их с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем:
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4} \]
Теперь рассчитываем:
- \( x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \)
- \( x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \)
Шаг 5: Построение графика
- Вершина точки: \( \left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right) \).
- Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{2} \).
- Определяем направление ветвей: поскольку \( a = 2 > 0 \), парабола направлена вверх.
Теперь можно построить график функции, нанеся вершину и корни на координатную ось.
Вывод
Функция \( y = 2x^2 - x - 1 \) имеет:
- Вершину: \( \left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right) \)
- Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{2} \)
- Направление: ветви направлены вверх.
Это полное решение задачи при анализе функции! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!
