Давайте решим задачу о реакции первого порядка и определим время, необходимое для завершения реакции на 90%.
Дано:
- Ускорение реакции (константа скорости) α_k = 0,69
- Время полного завершения реакции на 70% составило 15 минут.
Формулы реакции первого порядка.
Реакция первого порядка описывается уравнением:
[
C_t = C_0 (1 - e^{-kt})
]
где:
- (C_t) — концентрация в момент времени (t),
- (C_0) — начальная концентрация,
- (k) — константа скорости реакции,
- (t) — время,
- (e) — основание натурального логарифма (примерно 2,71828).
Шаг 1: Определим константу скорости ( k )
Сначала мы можем использовать данные о 70% завершения реакции, чтобы найти константу скорости ( k ). Начнем с формулы:
Поскольку 70% реакции завершено, остаётся 30% исходного вещества. Таким образом, (C_t / C_0 = 0.3) в момент времени (t = 15) минут.
Записываем уравнение:
[
0.3 = 1 - e^{-kt}
]
Следовательно,
[
e^{-kt} = 0.7
]
Теперь применим натуральный логарифм:
[
-kt = \ln(0.7)
]
Затем мы можем найти (k):
[
k = -\frac{\ln(0.7)}{t} = -\frac{\ln(0.7)}{15}
]
Шаг 2: Рассчитаем значение ( \ln(0.7) )
Вычислим ( \ln(0.7) ):
[
\ln(0.7) \approx -0.3567
]
Теперь подставим это значение в уравнение для (k):
[
k = -\frac{-0.3567}{15} \approx 0.02378 , \text{мин}^{-1}
]
Шаг 3: Определим время для 90% завершения реакции
Теперь, когда мы знаем константу скорости (k), можем рассчитать время, необходимое для завершения реакции на 90%. При 90% завершении:
[
C_t / C_0 = 0.1
]
Следовательно:
[
0.1 = 1 - e^{-kt}
]
Отсюда:
[
e^{-kt} = 0.9
]
Применим натуральный логарифм:
[
-kt = \ln(0.9)
]
Таким образом, получаем:
[
t = -\frac{\ln(0.9)}{k}
]
Теперь вычислим ( \ln(0.9) ):
[
\ln(0.9) \approx -0.1054
]
Теперь подставим значение (k):
[
t = -\frac{-0.1054}{0.02378} \approx 4.44 , \text{минут}
]
Ответ:
Таким образом, время, за которое реакция завершится на 90%, составляет примерно 4.44 минуты.
