в полном графе количество рёбер 378. сколько в нём вершин

Чтобы решить задачу о полном графе, давайте сначала вспомним, что такое полный граф.

Полный граф

Полный граф — это такой граф, в котором каждая пара различных вершин соединена уникальным ребром. В полном графе с \( n \) вершинами количество рёбер \( m \) вычисляется по формуле:

\[ m = \frac{n(n-1)}{2} \]

где:

• \( m \) — количество рёбер,
• \( n \) — количество вершин.

Условие задачи

В нашей задаче количество рёбер \( m = 378 \). Нам нужно найти количество вершин \( n \).

Подстановка в формулу

Подставим 378 в формулу:

\[ 378 = \frac{n(n-1)}{2} \]

Умножим обе стороны уравнения на 2 для избавления от дроби:

\[ 756 = n(n-1) \]

Теперь мы можем привести это уравнение к стандартному квадратичному виду:

\[ n^2 - n - 756 = 0 \]

Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -756 \).

Рассчитаем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-756) = 1 + 3024 = 3025 \]

Теперь находим корни:

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 55}{2} \]

Теперь найдём корни:

1. \( n_1 = \frac{56}{2} = 28 \)
2. \( n_2 = \frac{-54}{2} = -27 \) (это отрицательное значение, поэтому мы его не учитываем)

Ответ

Количество вершин в полном графе при 378 рёбрах равно \( n = 28 \).

Таким образом, в полном графе с 378 рёбрами 28 вершин.