Чтобы решить задачу о полном графе, давайте сначала вспомним, что такое полный граф.
Полный граф
Полный граф — это такой граф, в котором каждая пара различных вершин соединена уникальным ребром. В полном графе с ( n ) вершинами количество рёбер ( m ) вычисляется по формуле:
[
m = \frac{n(n-1)}{2}
]
где:
- ( m ) — количество рёбер,
- ( n ) — количество вершин.
Условие задачи
В нашей задаче количество рёбер ( m = 378 ). Нам нужно найти количество вершин ( n ).
Подстановка в формулу
Подставим 378 в формулу:
[
378 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Умножим обе стороны уравнения на 2 для избавления от дроби:
[
756 = n(n-1)
]
Теперь мы можем привести это уравнение к стандартному квадратичному виду:
[
n^2 - n - 756 = 0
]
Решение квадратного уравнения
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -756 ).
Рассчитаем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-756) = 1 + 3024 = 3025
]
Теперь находим корни:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 55}{2}
]
Теперь найдём корни:
- ( n_1 = \frac{56}{2} = 28 )
- ( n_2 = \frac{-54}{2} = -27 ) (это отрицательное значение, поэтому мы его не учитываем)
Ответ
Количество вершин в полном графе при 378 рёбрах равно ( n = 28 ).
Таким образом, в полном графе с 378 рёбрами 28 вершин.
