При каких значениях параметра а уравнение x + 2 = a|x - 1| имеет единственное решение? Найдите это решение.

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с уравнением:

\[ x + 2 = a|x - 1| \]

Шаг 1: Варианты для |x - 1|

Модуль \( |x - 1| \) может принимать два значения в зависимости от того, больше или меньше \( x \) единицы. Это означает, что нам нужно рассмотреть два случая.

Случай 1: \( x - 1 \geq 0 \) (или \( x \geq 1 \))

В этом случае \( |x - 1| = x - 1 \). Подставляем это значение в уравнение:

\[ x + 2 = a(x - 1) \]

Решим его:

\[ x + 2 = ax - a \] \[ x - ax = -a - 2 \] \[ x(1 - a) = -a - 2 \] \[ x = \frac{-a - 2}{1 - a} \quad (1) \]

Случай 2: \( x - 1 < 0 \) (или \( x < 1 \))

В этом случае \( |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x \). Подставляем это значение в уравнение:

\[ x + 2 = a(1 - x) \]

Решим его:

\[ x + 2 = a - ax \] \[ x + ax = a - 2 \] \[ x(1 + a) = a - 2 \] \[ x = \frac{a - 2}{1 + a} \quad (2) \]

Шаг 2: Условия для единственного решения

Чтобы уравнение \( x + 2 = a|x - 1| \) имело единственное решение, обе формулы (1) и (2) должны давать одно и то же значение \( x \), но лишь для одного \( a \) и в одном из случаев \( x \) должен соответствовать своему условию (т.е. \( x \geq 1 \) или \( x < 1 \)).

Установим, что

\[ \frac{-a - 2}{1 - a} = \frac{a - 2}{1 + a} \]

Шаг 3: Решение уравнения

Умножим обе стороны на \( (1 - a)(1 + a) \) (при \( a \neq 1 \)):

\[ (-a - 2)(1 + a) = (a - 2)(1 - a) \] \[ -a - 2 - a^2 - 2a = a - 2 - a^2 + 2a \] \[ -a - 2 - 3a = a - 2 + 2a \] \[ -4a - 2 = 3a - 2 \] \[ -4a - 3a = -2 + 2 \] \[ -7a = 0 \] \[ a = 0 \]

Шаг 4: Проверка условий

Теперь подставим \( a = 0 \) обратно в первоначальное уравнение:

\[ x + 2 = 0 \cdot |x - 1| \implies x + 2 = 0 \implies x = -2 \]

Но \( -2 < 1 \), значит, это решение соответствует второму случаю. Почему? Поскольку \( a = 0 \) ведет к тому, что система зависит от \( x + 2 = 0 \).

Следовательно, уравнение имеет единственное решение при \( a = 0 \), и это решение:

\[ x = -2 \]

Итог

Таким образом, ответ на задачу таков:

Значение параметра: \( a = 0 \)

Единственное решение: \( x = -2 \)