Решение

Давайте подробно разберем каждую из задач:

1. Найти первые пять членов последовательности \( a_n \), с общим ее членом \( a_n = 3n \):

   Формула общего члена: \( a_n = 3n \).

   Подставим значения \( n \) от 1 до 5:

   • \( a_1 = 3 \times 1 = 3 \)
   • \( a_2 = 3 \times 2 = 6 \)
   • \( a_3 = 3 \times 3 = 9 \)
   • \( a_4 = 3 \times 4 = 12 \)
   • \( a_5 = 3 \times 5 = 15 \)

   Ответ: \( 3, 6, 9, 12, 15 \).

2. Найти первые пять членов арифметической прогрессии, если \( a = 3 \) и \( d = 2 \):

   Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a + (n-1) \times d \).

   Подставим значения \( n \) от 1 до 5:

   • \( a_1 = 3 + (1-1) \times 2 = 3 \)
   • \( a_2 = 3 + (2-1) \times 2 = 5 \)
   • \( a_3 = 3 + (3-1) \times 2 = 7 \)
   • \( a_4 = 3 + (4-1) \times 2 = 9 \)
   • \( a_5 = 3 + (5-1) \times 2 = 11 \)

   Ответ: \( 3, 5, 7, 9, 11 \).

3. Найти разность арифметической прогрессии, если \( a_1 = 3 \) и \( a_2 = 5 \):

   Разность \( d = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2 \).

   Ответ: 2.

4. Вычислить сумму девяти первых членов арифметической прогрессии, если \( a = 6 \) и \( d = 3 \):

   Формула суммы первых \( n \) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1) \times d) \]

   Подставим значения \( n = 9 \), \( a = 6 \), \( d = 3 \): \[ S_9 = \frac{9}{2} \times (2 \times 6 + (9-1) \times 3) = \frac{9}{2} \times (12 + 24) = \frac{9}{2} \times 36 = 162 \]

   Ответ: 162.

5. Найти девятый член арифметической прогрессии, если \( a = 5 \), \( l = 1 \):

   Формула n-го члена: \[ a_n = a + (n-1) \times d \] где разность \( d = l - a \).

   Подставим значения \( n = 9 \): \[ a_9 = 5 + (9-1) \times (1-5) = 5 + 8 \times (-4) = 5 - 32 = -27 \]

   Ответ: \(-27\).

6. Арифметическая прогрессия задана формулой \( 5n - 7 \). Найдите первый отрицательный член прогрессии:

   Найти \( n \), для которого \( a_n < 0 \): \[ 5n - 7 < 0 \implies 5n < 7 \implies n < \frac{7}{5} \]

   Первый целый \( n \), удовлетворяющий условию: \( n = 1 \).

   Подставим: \[ a_1 = 5 \times 1 - 7 = -2 \]

   Ответ: \(-2\).

7. Арифметическая прогрессия, у которой \( a = -5 \), \( d = 5 \). Найти a и d:

   Вопрос, вероятно, выясняет, верны ли данные. Да, \( a = -5 \), \( d = 5 \).

   Ответ: \( a = -5 \), \( d = 5 \).

8. Десять первых членов арифметической прогрессии, если \( a_1 = 4.2 \) и \( a_{10} = 15.9 \):

   Разность \( d \) найдём из уравнения: \[ a_{10} = a_1 + 9d \] \[ 15.9 = 4.2 + 9d \] \[ 9d = 11.7 \implies d = \frac{11.7}{9} = 1.3 \]

   Подставим значения для первых десяти членов: \( a_n = 4.2 + (n-1) \times 1.3 \).

   Ответ:

   • \( a_1 = 4.2 \)
   • \( a_2 = 5.5 \)
   • \( a_3 = 6.8 \)
   • \( a_4 = 8.1 \)
   • \( a_5 = 9.4 \)
   • \( a_6 = 10.7 \)
   • \( a_7 = 12.0 \)
   • \( a_8 = 13.3 \)
   • \( a_9 = 14.6 \)
   • \( a_{10} = 15.9 \)

9. Найти сумму нечётных чисел, не превосходящих 40:

   Последовательность нечётных чисел: \( 1, 3, 5, \ldots, 39 \).

   Это арифметическая прогрессия с \( a = 1 \), \( d = 2 \).

   Найдем количество членов, \( n \), где \( a_n = 39 \): \[ 39 = 1 + (n-1) \times 2 \] \[ 38 = (n-1) \times 2 \implies n-1 = 19 \implies n = 20 \]

   Сумма: \[ S_n = \frac{20}{2} \times (1 + 39) = 10 \times 40 = 400 \]

   Ответ: 400.