Решение

Давайте подробно разберем каждую из задач: 1. **Найти первые пять членов последовательности \( a_n \), с общим ее членом \( a_n = 3n \):** Формула общего члена: \( a_n = 3n \). Подставим значения \( n \) от 1 до 5: - \( a_1 = 3 \times 1 = 3 \) - \( a_2 = 3 \times 2 = 6 \) - \( a_3 = 3 \times 3 = 9 \) - \( a_4 = 3 \times 4 = 12 \) - \( a_5 = 3 \times 5 = 15 \) Ответ: \( 3, 6, 9, 12, 15 \). 2. **Найти первые пять членов арифметической прогрессии, если \( a = 3 \) и \( d = 2 \):** Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a + (n-1) \times d \). Подставим значения \( n \) от 1 до 5: - \( a_1 = 3 + (1-1) \times 2 = 3 \) - \( a_2 = 3 + (2-1) \times 2 = 5 \) - \( a_3 = 3 + (3-1) \times 2 = 7 \) - \( a_4 = 3 + (4-1) \times 2 = 9 \) - \( a_5 = 3 + (5-1) \times 2 = 11 \) Ответ: \( 3, 5, 7, 9, 11 \). 3. **Найти разность арифметической прогрессии, если \( a_1 = 3 \) и \( a_2 = 5 \):** Разность \( d = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2 \). Ответ: 2. 4. **Вычислить сумму девяти первых членов арифметической прогрессии, если \( a = 6 \) и \( d = 3 \):** Формула суммы первых \( n \) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1) \times d) \] Подставим значения \( n = 9 \), \( a = 6 \), \( d = 3 \): \[ S_9 = \frac{9}{2} \times (2 \times 6 + (9-1) \times 3) = \frac{9}{2} \times (12 + 24) = \frac{9}{2} \times 36 = 162 \] Ответ: 162. 5. **Найти девятый член арифметической прогрессии, если \( a = 5 \), \( l = 1 \):** Формула n-го члена: \[ a_n = a + (n-1) \times d \] где разность \( d = l - a \). Подставим значения \( n = 9 \): \[ a_9 = 5 + (9-1) \times (1-5) = 5 + 8 \times (-4) = 5 - 32 = -27 \] Ответ: \(-27\). 6. **Арифметическая прогрессия задана формулой \( 5n - 7 \). Найдите первый отрицательный член прогрессии:** Найти \( n \), для которого \( a_n < 0 \): \[ 5n - 7 < 0 \implies 5n < 7 \implies n < \frac{7}{5} \] Первый целый \( n \), удовлетворяющий условию: \( n = 1 \). Подставим: \[ a_1 = 5 \times 1 - 7 = -2 \] Ответ: \(-2\). 7. **Арифметическая прогрессия, у которой \( a = -5 \), \( d = 5 \). Найти a и d:** Вопрос, вероятно, выясняет, верны ли данные. Да, \( a = -5 \), \( d = 5 \). Ответ: \( a = -5 \), \( d = 5 \). 8. **Десять первых членов арифметической прогрессии, если \( a_1 = 4.2 \) и \( a_{10} = 15.9 \):** Разность \( d \) найдём из уравнения: \[ a_{10} = a_1 + 9d \] \[ 15.9 = 4.2 + 9d \] \[ 9d = 11.7 \implies d = \frac{11.7}{9} = 1.3 \] Подставим значения для первых десяти членов: \( a_n = 4.2 + (n-1) \times 1.3 \). Ответ: - \( a_1 = 4.2 \) - \( a_2 = 5.5 \) - \( a_3 = 6.8 \) - \( a_4 = 8.1 \) - \( a_5 = 9.4 \) - \( a_6 = 10.7 \) - \( a_7 = 12.0 \) - \( a_8 = 13.3 \) - \( a_9 = 14.6 \) - \( a_{10} = 15.9 \) 9. **Найти сумму нечётных чисел, не превосходящих 40:** Последовательность нечётных чисел: \( 1, 3, 5, \ldots, 39 \). Это арифметическая прогрессия с \( a = 1 \), \( d = 2 \). Найдем количество членов, \( n \), где \( a_n = 39 \): \[ 39 = 1 + (n-1) \times 2 \] \[ 38 = (n-1) \times 2 \implies n-1 = 19 \implies n = 20 \] Сумма: \[ S_n = \frac{20}{2} \times (1 + 39) = 10 \times 40 = 400 \] Ответ: 400.