1. В некотором графе 14 рёбер. Каждая вершина графа имеет степень 2 или степень 5, причём вершин степени 2 и степени 5 поровну. Сколько всего вершин содержит граф?..
Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализа данной информации.
Дано:
- В графе 14 рёбер.
- Вершины имеют степень 2 или степень 5.
- Количество вершин степени 2 равно количеству вершин степени 5.
Обозначаем:
- Пусть \( n_2 \) — количество вершин степени 2.
- Пусть \( n_5 \) — количество вершин степени 5.
Условия задачи:
- Из условия о равенстве количества вершин степени 2 и степени 5 следует, что \( n_2 = n_5 \).
- Также, поскольку \( n_2 \) и \( n_5 \) — это количества вершин, нам нужно будет учесть, что каждая вершина степени 2 вносит 2 в суммарную степень, а каждая вершина степени 5 — 5.
Сумма степеней вершин: Известно, что сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному количеству рёбер:
\[ \text{Сумма степеней} = 2 \cdot \text{Количество рёбер} = 2 \cdot 14 = 28. \]
Запишем уравнение для суммы степеней: Сумма степеней может быть записана так:
\[ 2n_2 + 5n_5 = 28. \]
Подставим равенство \( n_2 = n_5 \): Поскольку \( n_2 = n_5 \), обозначим это количество через \( n \):
\[ n_2 = n \quad \text{и} \quad n_5 = n. \]
Тогда уравнение становится:
\[ 2n + 5n = 28. \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ 7n = 28. \]
Решим это уравнение: Разделим обе стороны на 7:
\[ n = \frac{28}{7} = 4. \]
Количество вершин: Теперь мы знаем, что \( n_2 = n_5 = 4 \). Поскольку всего вершин в графе:
\[ \text{Общее количество вершин} = n_2 + n_5 = 4 + 4 = 8. \]
Ответ: В графе всего 8 вершин.
