Даны треугольники  M N K MNK и  M K P MKP, причём точки  N N и  P P лежат по разные стороны от прямой  M K MK. Углы  M N K MNK и  M P K MPK равны  3 5 ∘ 35 ∘  и  4 9 ∘ 49 ∘ соответственно. Найди градусную меру угла  N M P NMP, если  M N = M K = M P MN=MK=MP.

Для решения задачи сначала разберёмся с тем, что дано. Итак, у нас есть два треугольника: \( \triangle MNK \) и \( \triangle MKP \). Даны углы: - \( \angle MNK = 35^\circ \) - \( \angle MKP = 49^\circ \) Также известно, что длины сторон \( MN \), \( MK \), и \( MP \) равны между собой: \[ MN = MK = MP \] Наша цель — найти угол \( NMP \). ### Шаг 1: Определим, что мы знаем 1. Углы в треугольниках: - Угол \( N \) в треугольнике \( MNK \): \( \angle MNK = 35^\circ \) - Угол \( P \) в треугольнике \( MKP \): \( \angle MKP = 49^\circ \) 2. Стороны: - Длина \( MN = MK = MP \) ### Шаг 2: Найдём третий угол в каждом треугольнике Пользуясь тем, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), найдем третий угол в каждом из треугольников: #### Для треугольника \( \triangle MNK \): \[ \angle KNM = 180^\circ - \angle MNK - \angle MKN \] Пусть \( \angle MKN = x\): \[ \angle KNM = 180^\circ - 35^\circ - x = 145^\circ - x \] #### Для треугольника \( \triangle MKP \): \[ \angle PKM = 180^\circ - \angle MKP - \angle MPK \] Пусть \( \angle MPK = y\): \[ \angle PKM = 180^\circ - 49^\circ - y = 131^\circ - y \] ### Шаг 3: Найдём угол \( NMP \) Угол \( NMP \) находится в точке \( M \), и его можно выразить как разность углов \( \angle KNM + \angle PKM \): \[ \angle NMP = \angle KNM + \angle PKM \] Теперь подставим найденные значения: \[ \angle NMP = (145^\circ - x) + (131^\circ - y) = 276^\circ - (x + y) \] ### Шаг 4: Воспользуйтесь равенством сторон Поскольку \( MN = MK = MP \), треугольники \( \triangle MNK \) и \( \triangle MKP \) равны по двум углам и стороне между ними \( (35^\circ \, \text{и} \, 49^\circ) \). Таким образом, углы \( x \) и \( y \) равны, и поскольку они являются углами треугольников, мы можем использовать их равенства для упрощения. Решение требует применения свойств равнобедренного треугольника. Но так как \( MN = MK = MP \), то мы приходим к выводу, что: \[ x + y = 180^\circ - (35^\circ + 49^\circ) = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ \] ### Шаг 5: Подставим в формулу Подставляем результат: \[ \angle NMP = 276^\circ - 96^\circ = 180^\circ \] Но поскольку \( NMP \) должен быть меньше \( 180^\circ \), нам следует убедиться, что не пропустили детали. Теперь, зная геометрию треугольников: \[ \angle NMP = 180^\circ - (35^\circ + 49^\circ) = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ \] ### Ответ Таким образом, мы нашли угол \( NMP \): \[ \angle NMP = 96^\circ \]