решите неравенства методом интервалов (3x-4)×(1-x)×(2x+1)<0

Чтобы решить неравенство \((3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1) < 0\) методом интервалов, мы будем следовать следующими шагами.

Шаг 1: Найдем корни неравенства

Для начала найдем корни каждого множителя:

1. \(3x - 4 = 0\) \[ 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \]

2. \(1 - x = 0\) \[ x = 1 \]

3. \(2x + 1 = 0\) \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \]

Теперь у нас есть три корня: \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 1\) и \(x = \frac{4}{3}\).

Шаг 2: Определим интервалы

Корни разбивают числовую ось на четыре интервала:

1. \((- \infty, -\frac{1}{2})\)
2. \((- \frac{1}{2}, 1)\)
3. \((1, \frac{4}{3})\)
4. \((\frac{4}{3}, + \infty)\)

Шаг 3: Проверим знак неравенства в каждом интервале

Теперь проверим знак выражения \((3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1)\) на каждом из указанных интервалов, выбрав тестовое число из каждого интервала.

1. Интервал \((- \infty, -\frac{1}{2})\): возьмем \(x = -1\) \[ (3(-1) - 4)(1 - (-1))(2(-1) + 1) = (-3 - 4)(1 + 1)(-2 + 1) = (-7)(2)(-1) = 14 > 0 \] Знак: положительный.

2. Интервал \((- \frac{1}{2}, 1)\): возьмем \(x = 0\) \[ (3(0) - 4)(1 - 0)(2(0) + 1) = (-4)(1)(1) = -4 < 0 \] Знак: отрицательный.

3. Интервал \((1, \frac{4}{3})\): возьмем \(x = 1.2\) \[ (3(1.2) - 4)(1 - 1.2)(2(1.2) + 1) = (3.6 - 4)(-0.2)(2.4 + 1) = (-0.4)(-0.2)(3.4) = 0.272 > 0 \] Знак: положительный.

4. Интервал \((\frac{4}{3}, +\infty)\): возьмем \(x = 2\) \[ (3(2) - 4)(1 - 2)(2(2) + 1) = (6 - 4)(-1)(4 + 1) = (2)(-1)(5) = -10 < 0 \] Знак: отрицательный.

Шаг 4: Подведение итогов

Теперь мы можем подвести итоги:

• Знак выражения положителен на интервалах \((- \infty, -\frac{1}{2})\) и \((1, \frac{4}{3})\).
• Знак выражения отрицателен на интервалах \((- \frac{1}{2}, 1)\) и \((\frac{4}{3}, +\infty)\).

Поскольку мы ищем, где \((3x - 4)(1 - x)(2x + 1) < 0\), то решения находятся в интервалах: \[ (- \frac{1}{2}, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty) \]

Итоговый ответ

\[ x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left(\frac{4}{3}, +\infty\right) \]