Решите неравенства методом интервалов (3x-4)×(1-x)×(2x+1)<0

Чтобы решить неравенство \((3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1) < 0\) методом интервалов, мы будем следовать следующими шагами. ### Шаг 1: Найдем корни неравенства Для начала найдем корни каждого множителя: 1. **\(3x - 4 = 0\)** \[ 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \] 2. **\(1 - x = 0\)** \[ x = 1 \] 3. **\(2x + 1 = 0\)** \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] Теперь у нас есть три корня: \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = 1\) и \(x = \frac{4}{3}\). ### Шаг 2: Определим интервалы Корни разбивают числовую ось на четыре интервала: 1. \((- \infty, -\frac{1}{2})\) 2. \((- \frac{1}{2}, 1)\) 3. \((1, \frac{4}{3})\) 4. \((\frac{4}{3}, + \infty)\) ### Шаг 3: Проверим знак неравенства в каждом интервале Теперь проверим знак выражения \((3x - 4) \times (1 - x) \times (2x + 1)\) на каждом из указанных интервалов, выбрав тестовое число из каждого интервала. 1. **Интервал \((- \infty, -\frac{1}{2})\)**: возьмем \(x = -1\) \[ (3(-1) - 4)(1 - (-1))(2(-1) + 1) = (-3 - 4)(1 + 1)(-2 + 1) = (-7)(2)(-1) = 14 > 0 \] Знак: положительный. 2. **Интервал \((- \frac{1}{2}, 1)\)**: возьмем \(x = 0\) \[ (3(0) - 4)(1 - 0)(2(0) + 1) = (-4)(1)(1) = -4 < 0 \] Знак: отрицательный. 3. **Интервал \((1, \frac{4}{3})\)**: возьмем \(x = 1.2\) \[ (3(1.2) - 4)(1 - 1.2)(2(1.2) + 1) = (3.6 - 4)(-0.2)(2.4 + 1) = (-0.4)(-0.2)(3.4) = 0.272 > 0 \] Знак: положительный. 4. **Интервал \((\frac{4}{3}, +\infty)\)**: возьмем \(x = 2\) \[ (3(2) - 4)(1 - 2)(2(2) + 1) = (6 - 4)(-1)(4 + 1) = (2)(-1)(5) = -10 < 0 \] Знак: отрицательный. ### Шаг 4: Подведение итогов Теперь мы можем подвести итоги: - Знак выражения положителен на интервалах \((- \infty, -\frac{1}{2})\) и \((1, \frac{4}{3})\). - Знак выражения отрицателен на интервалах \((- \frac{1}{2}, 1)\) и \((\frac{4}{3}, +\infty)\). Поскольку мы ищем, где \((3x - 4)(1 - x)(2x + 1) < 0\), то решения находятся в интервалах: \[ (- \frac{1}{2}, 1) \cup (\frac{4}{3}, +\infty) \] ### Итоговый ответ \[ x \in \left(-\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left(\frac{4}{3}, +\infty\right) \]