В трапеции A B C D с основаниями B C и A D известно, что A D = 11 , B C = 9 , а её площадь равна 54 . Найдите площадь трапеции A E F D , где E F — средняя линия трапеции A B C D .

Для решения задачи мы сначала вспомним, что такое средняя линия трапеции и как рассчитать площадь трапеции.

1. Параметры трапеции

Ваша трапеция \( ABCD \) имеет основания:

• \( AD = 11 \) (большее основание)
• \( BC = 9 \) (меньшее основание)

Площадь \( S \) трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота трапеции.

У нас есть площадь \( S = 54 \).

2. Найдем высоту трапеции

Подставим известные значения в формулу площади: \[ 54 = \frac{(11 + 9) \cdot h}{2} \] Сначала посчитаем сумму оснований: \[ 11 + 9 = 20 \] Теперь подставим эту сумму в формулу: \[ 54 = \frac{20 \cdot h}{2} \] Упрощаем правую часть: \[ 54 = 10h \] Теперь выразим \( h \): \[ h = \frac{54}{10} = 5.4 \]

3. Вычисление средней линии трапеции

Средняя линия \( EF \) трапеции \( ABCD \) определяется как среднее арифметическое её оснований: \[ EF = \frac{AD + BC}{2} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

4. Площадь трапеции \( AEF D \)

Теперь вычислим площадь новой трапеции \( AEF D \) с основаниями \( AD \) и \( EF \):

• основание \( AD = 11 \)
• основание \( EF = 10 \)

Высота новой трапеции остаётся такой же, так как линии параллельны:

• высота \( h = 5.4 \)

Используем формулу для площади: \[ S_{AEFD} = \frac{(AD + EF) \cdot h}{2} \] Подставляем значения: \[ S_{AEFD} = \frac{(11 + 10) \cdot 5.4}{2} \] Считаем сумму оснований: \[ 11 + 10 = 21 \] Теперь подставляем в формулу: \[ S_{AEFD} = \frac{21 \cdot 5.4}{2} \] Считаем результат: \[ S_{AEFD} = \frac{113.4}{2} = 56.7 \]

Заключение

Таким образом, площадь трапеции \( AEF D \) равна \( 56.7 \).