Реши задачу
Для решения задачи найдем длины отрезков \( CD \) и \( MN_1 \).
- Чтобы найти длину отрезка \( CD \), имеем точки \( C\left(-1, -\frac{5}{12}\right) \) и \( D\left(-2, -\frac{7}{16}\right) \).
Формула длины отрезка между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) в координатной плоскости: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Подставим координаты:
\[ d = \sqrt{\left(-2 - (-1)\right)^2 + \left(-\frac{7}{16} - \left(-\frac{5}{12}\right)\right)^2} \]
Вычислим \( x_2 - x_1 \): \[ -2 - (-1) = -2 + 1 = -1 \]
Теперь \( y_2 - y_1 \):
Первый дробь: \(-\frac{5}{12}\)
Вторая дробь: \(-\frac{7}{16}\)
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, мы приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 16 — это 48. \[ -\frac{5}{12} = -\frac{20}{48}, \quad -\frac{7}{16} = -\frac{21}{48} \]
Теперь вычитаем: \[ -\frac{21}{48} - \left(-\frac{20}{48}\right) = -\frac{21}{48} + \frac{20}{48} = -\frac{1}{48} \]
Теперь подставляем в формулу длины: \[ d = \sqrt{(-1)^2 + \left(-\frac{1}{48}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2304}} \]
\[ d = \sqrt{\frac{2304}{2304} + \frac{1}{2304}} = \sqrt{\frac{2305}{2304}} \]
\[ d = \frac{\sqrt{2305}}{48} \]
- Для нахождения длины отрезка \( MN_1 \), имеем точку \( M(5, 6) \), \( MN = 4,7 \), и два случая для \( N_1 \) и \( N_2 \) в противоположных направлениях.
Случай 1: \( N_1 \) вдоль положительного направления. Координаты \( N_1(x, y) \) такие, что \( N_1 \) вдоль продолжения и \( \|MN\| = 4,7 \):
Находясь вдоль оси \( x \), \( x = 5 + 4,7 = 9,7 \). Следовательно, \( N_1(9,7, 6) \).
Расстояние от точки \( M(5, 6) \) до \( N_1(9,7, 6) \) — это \( MN = 4,7 \), что соответствует условию.
Таким образом, оба отрезка \( CD \) и \( MN_1 \) найдены:
- Длина \( CD = \frac{\sqrt{2305}}{48} \)
- Положение \( N_1 = (9,7, 6) \) для \( MN_1 = 4,7 \).
