Стрелок стреляет по мишеням до первого попадания. Какая формула отображает вероятность события A A «первые пять раз стрелок промахнётся, на шестой попадёт»?
Чтобы понять вероятность события \( A \), в котором стрелок имеет первые пять промахов и на шестом выстреле попадает, мы используем некоторые основы теории вероятностей.
Обозначим:
- \( p \) — вероятность попадания (успеха) стрелка.
- \( q = 1 - p \) — вероятность промаха (неуспеха) стрелка.
Событие \( A \) можно описать следующим образом:
- Первые пять выстрелов — промахи.
- Шестой выстрел — попадание.
Вероятность того, что стрелок промахнётся в течение первых пяти выстрелов, можно выразить как \( q^5 \), так как каждая попытка является независимым событием. Для шестого выстрела, где стрелок попадает, вероятность составляет \( p \).
Следовательно, общая вероятность события \( A \) будет равна произведению вероятностей:
\[ P(A) = q^5 \cdot p \]
Где:
- \( q^5 \) — вероятность пяти промахов подряд.
- \( p \) — вероятность попадания на шестом выстреле.
Итак, окончательная формула для события \( A \) будет:
\[ P(A) = (1 - p)^5 \cdot p \]
Пример
Если, например, вероятность попадания \( p = 0.3 \) (то есть 30%), то вероятность промаха \( q = 1 - 0.3 = 0.7 \). Подставим это в формулу:
\[ P(A) = (0.7)^5 \cdot (0.3) \] В этом случае можно посчитать:
\[ P(A) = 0.16807 \cdot 0.3 \approx 0.0504 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок промахнётся пять раз подряд и попадёт в шестой раз, составляет примерно 5.04%.
