Чтобы найти скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), можно использовать формулу:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)
]
где:
- ( |\mathbf{a}| ) — длина вектора ( \mathbf{a} ),
- ( |\mathbf{b}| ) — длина вектора ( \mathbf{b} ),
- ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Дано:
- Длина вектора ( \mathbf{a} ): ( |\mathbf{a}| = 5\sqrt{7} )
- Длина вектора ( \mathbf{b} ): ( |\mathbf{b}| = 4\sqrt{28} )
- Угол между векторами: ( \theta = 120^\circ )
Шаг 1: Вычислить длину вектора ( \mathbf{b} )
Сначала упростим длину вектора ( \mathbf{b} ):
[
|\mathbf{b}| = 4\sqrt{28} = 4\sqrt{4 \cdot 7} = 4 \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}
]
Шаг 2: Найти косинус угла
Значение косинуса угла ( \theta = 120^\circ ):
[
\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}
]
Шаг 3: Подставить значения в формулу
Теперь подставим значения в формулу для скалярного произведения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (5\sqrt{7}) \cdot (8\sqrt{7}) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
]
Шаг 4: Произвести расчёты
Умножим длины векторов:
[
(5\sqrt{7}) \cdot (8\sqrt{7}) = 40 \cdot 7 = 280
]
Теперь подставим это в формулу:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 280 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -140
]
Ответ
Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -140
]
Таким образом, мы нашли скалярное произведение!
