Длины векторов a и b равны 5 Корней из 7 и 4 корня из 28,а угол между ними равен 120 градусов. Найдите скалярное произведение a умножить на b
Чтобы найти скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), можно использовать формулу:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]
где:
- \( |\mathbf{a}| \) — длина вектора \( \mathbf{a} \),
- \( |\mathbf{b}| \) — длина вектора \( \mathbf{b} \),
- \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
Дано:
- Длина вектора \( \mathbf{a} \): \( |\mathbf{a}| = 5\sqrt{7} \)
- Длина вектора \( \mathbf{b} \): \( |\mathbf{b}| = 4\sqrt{28} \)
- Угол между векторами: \( \theta = 120^\circ \)
Шаг 1: Вычислить длину вектора \( \mathbf{b} \)
Сначала упростим длину вектора \( \mathbf{b} \):
\[ |\mathbf{b}| = 4\sqrt{28} = 4\sqrt{4 \cdot 7} = 4 \cdot 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7} \]
Шаг 2: Найти косинус угла
Значение косинуса угла \( \theta = 120^\circ \):
\[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
Шаг 3: Подставить значения в формулу
Теперь подставим значения в формулу для скалярного произведения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (5\sqrt{7}) \cdot (8\sqrt{7}) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
Шаг 4: Произвести расчёты
Умножим длины векторов:
\[ (5\sqrt{7}) \cdot (8\sqrt{7}) = 40 \cdot 7 = 280 \]
Теперь подставим это в формулу:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 280 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -140 \]
Ответ
Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -140 \]
Таким образом, мы нашли скалярное произведение!
