Игральный кубик подбрасывают до тех пор пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того что кубик придется подбрасывать более трех раз
Для решения задачи используем понятие вероятности событий и закон распределения геометрической вероятности.
Условие:
Нам нужно найти вероятность того, что кубик придется подбрасывать более трех раз, прежде чем выпадет 6.
Решение:
Вероятность интересующего события (выпадение 6):
Каждый бросок кубика — это случайная величина, и вероятность того, что выпадет 6, равна \( \frac{1}{6} \).Вероятность противоположного события (не выпадет 6):
Вероятность того, что 6 не выпадет при одном броске — \( \frac{5}{6} \).Вероятность подбрасывания более трех раз:
Для того чтобы на 3-м или менее броске выпала 6, должно выполниться одно из следующих условий: 6 выпадает на 1-м, 2-м или 3-м броске.
Вероятность выпадения 6 на 1-м броске: \( P_1 = \frac{1}{6} \).
Вероятность выпадения 6 на 2-м броске: \( P_2 = \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) \).
Вероятность выпадения 6 на 3-м броске: \( P_3 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \left(\frac{1}{6}\right) \).
Общая вероятность того, что 6 выпадет за три броска или раньше: \[ P_{\leq 3} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} \] \[ = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{216} \] \[ = \frac{36}{216} + \frac{30}{216} + \frac{25}{216} \] \[ = \frac{91}{216} \]
Вероятность необходимости более трех бросков:
- Это противоположное событие событию, что 6 выпадает в одном из первых трёх бросков. \[ P_{ > 3} = 1 - P_{\leq 3} = 1 - \frac{91}{216} = \frac{125}{216} \]
Таким образом, вероятность того, что кубик придется подбрасывать более трех раз, составляет \( \frac{125}{216} \).
