Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (cn), если c5=27, c27=60. Решить 3 спопобами

Чтобы найти первый член и разность арифметической прогрессии (AP), следуем следующим шагам. У нас есть условия: \( c_5 = 27 \) и \( c_{27} = 60 \).

Определения:

• В арифметической прогрессии \( c_n \) можно выразить через первый член \( a \) и разность \( d \):
  \[ c_n = a + (n-1)d \]

1. Составим два уравнения из данных условия:

   • Для \( c_5 \):
     \[ c_5 = a + 4d = 27 \quad \text{(1)} \]
   • Для \( c_{27} \):
     \[ c_{27} = a + 26d = 60 \quad \text{(2)} \]

2. Решим систему уравнений.

   Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = 27 - 4d \quad \text{(3)} \]

   Подставим выражение (3) для \( a \) в уравнение (2): \[ 27 - 4d + 26d = 60 \] Упростим уравнение: \[ 27 + 22d = 60 \] Переносим 27 на правую сторону: \[ 22d = 60 - 27 \] \[ 22d = 33 \] Разделим обе стороны на 22: \[ d = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

3. Найдём первый член \( a \), используя уравнение (3): \[ a = 27 - 4d = 27 - 4 \times 1.5 = 27 - 6 = 21 \]

Таким образом, первый член \( a = 21 \) и разность \( d = 1.5 \).

Проверка:

• Проверяем \( c_5 \): \[ c_5 = a + 4d = 21 + 4 \times 1.5 = 21 + 6 = 27 \quad \text{(ок)} \]
• Проверяем \( c_{27} \): \[ c_{27} = a + 26d = 21 + 26 \times 1.5 = 21 + 39 = 60 \quad \text{(ок)} \]

Теперь применим альтернативные методы.

Метод 2: Используя разность прогрессии

Сначала найдём разницу между \( c_{27} \) и \( c_5 \): \[ c_{27} - c_5 = (a + 26d) - (a + 4d) = 22d \] Подставимо известные значения: \[ 60 - 27 = 22d \quad \Rightarrow \quad 33 = 22d \quad \Rightarrow \quad d = \frac{33}{22} = 1.5 \] Теперь воспользуемся значением \( d \) для определения \( a \): \[ c_5 = a + 4 \cdot 1.5 = 27 \quad \Rightarrow \quad a + 6 = 27 \quad \Rightarrow \quad a = 21 \]

Метод 3: Система уравнений

Можно также воспользоваться методом Крамера, но в данной задаче наиболее простой способ — это линейная алгебра, преобразующая первую и вторую:

\[ x + 4y = 27 \quad \text{(1)} \] \[ x + 26y = 60 \quad \text{(2)} \]

Вычтем первое уравнение из второго: \[ (x + 26y) - (x + 4y) = 60 - 27 \] \[ 22y = 33 \quad \Rightarrow \quad y = 1.5 \] Подставим \( y \) в первое уравнение: \[ x + 4 \cdot 1.5 = 27 \] \[ x + 6 = 27 \quad \Rightarrow \quad x = 21 \]

Ответ: Первый член \( a = 21 \) и разность \( d = 1.5 \).