Найди точку минимума функции y = 2 x − 4 ln ⁡ ( x + 6 ) y=2x−4ln(x+6) .

Чтобы найти точку минимума функции \( y = 2x - 4 \ln(x + 6) \), следуем следующему алгоритму:

Шаг 1: Найти производную функции

Для нахождения минимума функции сначала нужно найти её производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2x - 4 \ln(x + 6)) \]

Используем правила дифференцирования:

• Производная \( 2x \) равна \( 2 \).
• Производная \( -4 \ln(x + 6) \) равна \( -\frac{4}{x + 6} \) по правилу цепочки.

Таким образом, производная будет: \[ y' = 2 - \frac{4}{x + 6} \]

Шаг 2: Найти критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 2 - \frac{4}{x + 6} = 0 \]

Решим это уравнение: \[ 2 = \frac{4}{x + 6} \]

Умножим обе стороны на \( x + 6 \): \[ 2(x + 6) = 4 \]

Теперь раскроем скобки: \[ 2x + 12 = 4 \]

Переносим 12 на правую сторону: \[ 2x = 4 - 12 \] \[ 2x = -8 \] \[ x = -4 \]

Таким образом, критическая точка — \( x = -4 \).

Шаг 3: Проверка, является ли точка минимумом

Чтобы понять, является ли найденная точка минимумом, можно использовать вторую производную или метод знаков первой производной.

1. Вторая производная: Найдём вторую производную \( y'' \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}\left(2 - \frac{4}{x + 6}\right) \] \[ y'' = 0 + \frac{4}{(x + 6)^2} \]

Так как \( \frac{4}{(x + 6)^2} > 0 \) для всех \( x > -6 \), в том числе для \( x = -4 \), мы видим, что вторая производная положительна. Это означает, что функция имеет минимум в точке \( x = -4 \).

2. Метод знаков первой производной: Рассмотрим поведение первой производной в интервалах, делимых на наш критический punkt \( x = -4 \):

• Для \( x < -4 \): например, возьмем точку \( x = -5 \): \[ y'(-5) = 2 - \frac{4}{-5 + 6} = 2 - 4 = -2 < 0 \quad (\text{носимый характер}) \]

• Для \( x > -4 \): возьмем \( x = -3 \): \[ y'(-3) = 2 - \frac{4}{-3 + 6} = 2 - \frac{4}{3} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} > 0 \quad (\text{возрастающий характер}) \]

Таким образом, функция убывает до \( x = -4 \) и возрастает после, что подтверждает, что в этой точке находится минимум.

Шаг 4: Находим значение функции в точке минимума

Теперь подставим \( x = -4 \) в исходную функцию, чтобы узнать, какое значение имеет функция в этой точке: \[ y(-4) = 2(-4) - 4 \ln(-4 + 6) = -8 - 4 \ln(2) \]

Ответ

Таким образом, точка минимума функции \( y = 2x - 4 \ln(x + 6) \) находится в \( x = -4 \) и соответствует значению: \[ y(-4) = -8 - 4 \ln(2) \]