Игральную кость бросили дважды. Известно, что сумма выпавших очков равна 7. Найди условную вероятность того, что во второй раз выпадет меньше 2 очков.
Для решения данной задачи мы начнем с определения всех возможных исходов броска игральной кости, а затем найдем условную вероятность.
Шаг 1: Определение всех исходов
При броске игральной кости мы можем получить на каждой грани от 1 до 6 очков. Так как мы бросаем кубик два раза, все возможные пары исходов (где \( (X_1, X_2) \) обозначает количество очков на первом и втором броске соответственно) представлены следующими комбинациями:
- (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
- (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
- (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
- (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
- (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
- (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
Шаг 2: Условие
По условию задачи мы знаем, что сумма выпавших очков равна 7. Теперь мы найдем все возможные пары \( (X_1, X_2) \), сумма которых равна 7:
- \( (1, 6) \)
- \( (2, 5) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (4, 3) \)
- \( (5, 2) \)
- \( (6, 1) \)
Таким образом, у нас есть 6 благоприятных исходов, в которых сумма двух бросков составляет 7.
Шаг 3: Условная вероятность
Теперь нам нужно найти условную вероятность того, что во втором броске выпало меньше 2 очков, то есть \( X_2 < 2 \).
Среди всех благоприятных исходов (где сумма равна 7) посчитаем, сколько случаев дает \( X_2 < 2 \):
- Из перечисленных пар ни одна не содержит второго броска с результатом меньше 2, потому что в данной ситуации \( X_2 \) может быть только 1 (из пары \( (6, 1) \)). Нет пар, где бы \( X_2 = 0 \) или \( X_2 < 1 \), так как на игральной кости минимальное значение 1.
Таким образом, есть только 1 желаемый исход: \( (6, 1) \).
Шаг 4: Подсчет условной вероятности
Теперь можем подсчитать условную вероятность \( P(X_2 < 2 | S = 7) \):
\[ P(X_2 < 2 | S = 7) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов, где сумма равна 7}} = \frac{1}{6} \]
Ответ
Условная вероятность того, что во второй раз выпадет меньше 2 очков, равно \(\frac{1}{6}\).
