Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Прямоугольный треугольник.
- Один из углов равен 60°.
- Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см.
Обозначим:
- ( c ) — гипотенуза.
- ( a ) — меньший катет.
- ( b ) — больший катет.
Шаг 1: Найти соотношения между сторонами
В прямоугольном треугольнике, где угол 60°, мы можем использовать тригонометрические функции:
- ( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} )
- ( \cos(60°) = \frac{1}{2} )
Мы знаем, что для треугольника, где угол 60°:
- ( a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ) (это меньший катет).
- ( b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} ) (это больший катет).
Шаг 2: Записать уравнение
Из условия задачи у нас есть уравнение:
[ c + a = 26,4 ]
Подставляя выражение для ( a ):
[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4 ]
Шаг 3: Переписать уравнение и решить его
Можно вынести ( c ) за скобки:
[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 26,4 ]
[ c \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \right) = 26,4 ]
Теперь решим для ( c ):
[ c = \frac{26,4 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} ]
Шаг 4: Вычислить значение
Теперь можем вычислить ( c ):
Сначала найдём ( 2 + \sqrt{3} ):
- Приблизительно ( \sqrt{3} \approx 1,732 )
- Тогда ( 2 + \sqrt{3} \approx 3,732 ).
Теперь подставим это значение:
[ c = \frac{52,8}{3,732} \approx 14,16 , \text{см} ]
Ответ
Таким образом, гипотенуза треугольника приблизительно равна ( 14,16 , \text{см} ).
Итог
Мы нашли гипотенузу прямоугольного треугольника с заданными условиями. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
