Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.Найдите гипотенузу треугольника

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Один из углов равен 60°.
• Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см.

Обозначим:

• \( c \) — гипотенуза.
• \( a \) — меньший катет.
• \( b \) — больший катет.

Шаг 1: Найти соотношения между сторонами

В прямоугольном треугольнике, где угол 60°, мы можем использовать тригонометрические функции:

• \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)

Мы знаем, что для треугольника, где угол 60°:

• \( a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) (это меньший катет).
• \( b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \) (это больший катет).

Шаг 2: Записать уравнение

Из условия задачи у нас есть уравнение: \[ c + a = 26,4 \]

Подставляя выражение для \( a \): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4 \]

Шаг 3: Переписать уравнение и решить его

Можно вынести \( c \) за скобки: \[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 26,4 \] \[ c \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \right) = 26,4 \]

Теперь решим для \( c \): \[ c = \frac{26,4 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \]

Шаг 4: Вычислить значение

Теперь можем вычислить \( c \): Сначала найдём \( 2 + \sqrt{3} \):

• Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1,732 \)
• Тогда \( 2 + \sqrt{3} \approx 3,732 \).

Теперь подставим это значение: \[ c = \frac{52,8}{3,732} \approx 14,16 \, \text{см} \]

Ответ

Таким образом, гипотенуза треугольника приблизительно равна \( 14,16 \, \text{см} \).

Итог

Мы нашли гипотенузу прямоугольного треугольника с заданными условиями. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!