Чтобы понять, как найти дисперсию набора чисел с использованием свойств дисперсии, давайте разберемся с определением дисперсии и применим её к данным.
Дисперсия — это мера разброса значений относительно их среднего. Формула для дисперсии набора чисел выглядит так:
[
D(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2
]
где:
- ( D(X) ) — дисперсия,
- ( n ) — количество элементов в наборе,
- ( x_i ) — каждый элемент набора,
- ( \mu ) — среднее арифметическое набора.
Задание
- У нас есть набор чисел 5, 11, 2. Сначала находим их дисперсию.
- Также требуется дисперсия другого набора чисел 15, 21, 12.
Шаг 1: Вычисление дисперсии набора 5, 11, 2
Сначала находим среднее:
[
\mu = \frac{5 + 11 + 2}{3} = \frac{18}{3} = 6
]
Теперь вычисляем отклонения от среднего и их квадраты:
- Для 5: ((5 - 6)^2 = (-1)^2 = 1)
- Для 11: ((11 - 6)^2 = (5)^2 = 25)
- Для 2: ((2 - 6)^2 = (-4)^2 = 16)
Следующий шаг — суммируем эти квадраты:
[
\sum (x_i - \mu)^2 = 1 + 25 + 16 = 42
]
Теперь находим дисперсию:
[
D(X) = \frac{1}{3} \cdot 42 = 14
]
Это совпадает с тем, что было дано в условии задачи.
Шаг 2: Дисперсия набора 15, 21, 12
Теперь перейдем к новому набору чисел 15, 21, 12.
Находим среднее:
[
\mu = \frac{15 + 21 + 12}{3} = \frac{48}{3} = 16
]
Теперь вычисляем отклонения от среднего и их квадраты:
- Для 15: ((15 - 16)^2 = (-1)^2 = 1)
- Для 21: ((21 - 16)^2 = (5)^2 = 25)
- Для 12: ((12 - 16)^2 = (-4)^2 = 16)
Суммируем эти квадраты:
[
\sum (x_i - \mu)^2 = 1 + 25 + 16 = 42
]
Теперь находим дисперсию:
[
D(Y) = \frac{1}{3} \cdot 42 = 14
]
Ответ
Дисперсия набора чисел 15, 21, 12 также равна 14.
Таким образом, используя свойства дисперсии, мы нашли, что обе группы чисел имеют одинаковую дисперсию, равную 14.
