Найди скалярное произведение векторов f → f ​ и d → d , если f → = − 3 m → + 2 f ​ =−3 m +2 n → n и d → = 2 m → − 3 n → d =2 m −3 n , а m → { − 5 ; 2 } m {−5;2} , n → { 3 ; − 1 }…

Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\), сначала нужно подставить значения векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) в выражения этих векторов.

Шаг 1: Записать векторы \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\)

Исходя из условия, наши векторы задаются следующим образом:

\[ \vec{f} = -3\vec{m} + 2\vec{n} \]

\[ \vec{d} = 2\vec{m} - 3\vec{n} \]

Где: \[ \vec{m} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Подсчитать вектор \(\vec{f}\)

Теперь подставим вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) в \(\vec{f}\):

\[ \vec{f} = -3 \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим:

\[ -3 \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -6 \end{pmatrix} \]

\[ 2 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Теперь сложим эти два результата:

\[ \vec{f} = \begin{pmatrix} 15 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ -8 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Подсчитать вектор \(\vec{d}\)

Теперь подставим вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) в \(\vec{d}\):

\[ \vec{d} = 2 \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим:

\[ 2 \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 4 \end{pmatrix} \]

\[ -3 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Теперь сложим эти два результата:

\[ \vec{d} = \begin{pmatrix} -10 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -19 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Вычислить скалярное произведение

Скалярное произведение \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\) вычисляется по формуле:

\[ \vec{f} \cdot \vec{d} = f_1 d_1 + f_2 d_2 \]

Где:

• \(f_1 = 21\)
• \(f_2 = -8\)
• \(d_1 = -19\)
• \(d_2 = 7\)

Теперь подставим и посчитаем:

\[ \vec{f} \cdot \vec{d} = 21 \cdot (-19) + (-8) \cdot 7 \]

Сначала посчитаем отдельно каждое произведение:

\[ 21 \cdot (-19) = -399 \] \[ -8 \cdot 7 = -56 \]

Теперь сложим результаты:

\[ \vec{f} \cdot \vec{d} = -399 - 56 = -455 \]

Ответ

Скалярное произведение векторов \(\vec{f}\) и \(\vec{d}\) равно \(-455\).