Чтобы найти скалярное произведение векторов (\vec{f}) и (\vec{d}), сначала нужно подставить значения векторов (\vec{m}) и (\vec{n}) в выражения этих векторов.
Шаг 1: Записать векторы (\vec{f}) и (\vec{d})
Исходя из условия, наши векторы задаются следующим образом:
[
\vec{f} = -3\vec{m} + 2\vec{n}
]
[
\vec{d} = 2\vec{m} - 3\vec{n}
]
Где:
[
\vec{m} = \begin{pmatrix} -5 \ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}
]
Шаг 2: Подсчитать вектор (\vec{f})
Теперь подставим вектора (\vec{m}) и (\vec{n}) в (\vec{f}):
[
\vec{f} = -3 \begin{pmatrix} -5 \ 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}
]
Теперь вычислим:
[
-3 \begin{pmatrix} -5 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \ -6 \end{pmatrix}
]
[
2 \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ -2 \end{pmatrix}
]
Теперь сложим эти два результата:
[
\vec{f} = \begin{pmatrix} 15 \ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \ -8 \end{pmatrix}
]
Шаг 3: Подсчитать вектор (\vec{d})
Теперь подставим вектора (\vec{m}) и (\vec{n}) в (\vec{d}):
[
\vec{d} = 2 \begin{pmatrix} -5 \ 2 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}
]
Теперь вычислим:
[
2 \begin{pmatrix} -5 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \ 4 \end{pmatrix}
]
[
-3 \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \ 3 \end{pmatrix}
]
Теперь сложим эти два результата:
[
\vec{d} = \begin{pmatrix} -10 \ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -19 \ 7 \end{pmatrix}
]
Шаг 4: Вычислить скалярное произведение
Скалярное произведение (\vec{f}) и (\vec{d}) вычисляется по формуле:
[
\vec{f} \cdot \vec{d} = f_1 d_1 + f_2 d_2
]
Где:
- (f_1 = 21)
- (f_2 = -8)
- (d_1 = -19)
- (d_2 = 7)
Теперь подставим и посчитаем:
[
\vec{f} \cdot \vec{d} = 21 \cdot (-19) + (-8) \cdot 7
]
Сначала посчитаем отдельно каждое произведение:
[
21 \cdot (-19) = -399
]
[
-8 \cdot 7 = -56
]
Теперь сложим результаты:
[
\vec{f} \cdot \vec{d} = -399 - 56 = -455
]
Ответ
Скалярное произведение векторов (\vec{f}) и (\vec{d}) равно (-455).
