Найди скалярное произведение векторов n → + 2 k → n +2 k и 6 n → − k → 6 n − k , если ∣ n → ∣ = 2 ∣ n ∣=2 , ∣ k → ∣ = 3 3 ∣ k ∣=3 3 ​ , n → k → ^ = 30 ° n k =30° .

Чтобы найти скалярное произведение векторов, давайте вспомним формулу для скалярного произведения двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta), \]

где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — длины векторов, а \(\theta\) — угол между ними.

Ваша задача состоит в нахождении скалярного произведения векторов: \[ \vec{n} + 2\vec{k} \quad \text{и} \quad 6\vec{n} - \vec{k}. \]

Шаг 1: Находим длины векторов

У нас даны длины векторов:

• \(|\vec{n}| = 2\)
• \(|\vec{k}| = 3\)

Шаг 2: Угол между векторами

Угол между векторами \(\vec{n}\) и \(\vec{k}\) равен \(30^\circ\). Таким образом, необходимо найти косинус этого угла:

\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Шаг 3: Находим длины новых векторов

Теперь найдем длины векторов, которые нам нужны для скалярного произведения.

1. Вектор \(\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{k}\):

   • Длина вектора \(\vec{a}\) рассчитывается по формуле: \[ |\vec{a}| = \sqrt{|\vec{n}|^2 + |2\vec{k}|^2 + 2 |\vec{n}| |2\vec{k}| \cos(30^\circ)}. \]
   • Подставим значения: \[ |2\vec{k}| = 2 \cdot 3 = 6, \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
   • Вычислим: \[ |\vec{a}| = \sqrt{4 + 36 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{40 + 12\sqrt{3}}. \]

2. Вектор \(\vec{b} = 6\vec{n} - \vec{k}\):

   • Длина вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{(6 |\vec{n}|)^2 + |\vec{k}|^2 - 2 \cdot (6|\vec{n}|) \cdot |\vec{k}| \cdot \cos(30^\circ)}. \]
   • Подставим значения: \[ |\vec{b}| = \sqrt{(6 \cdot 2)^2 + 3^2 - 2 \cdot (6 \cdot 2) \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
   • Вычислим: \[ |\vec{b}| = \sqrt{144 + 9 - 36\sqrt{3}} = \sqrt{153 - 36\sqrt{3}}. \]

Шаг 4: Находим скалярное произведение

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\phi), \] где \(\phi\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Шаг 5: Угол между векторами

Для упрощения рассчитаем угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Углы можно найти, учитывая, что векторы \(\vec{n}\) и \(\vec{k}\) входят в их состав.

Ответ

Поскольку задача требует только скалярного произведения, можно выразить формулу как:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (|\vec{a}|)(|\vec{b}|) \cos(\text{угол между } \vec{a} \text{ и } \vec{b}). \]

Чтобы найти окончательное значение, нужно будет точно вычислить длины \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) и подразумевать значение угла между ними.