Найдите левые и правые смежные классы симметрической группы 3-й степени по всем нетривиальным подгруппам

Для решения задачи о нахождении смежных классов симметрической группы 3-й степени, начнем с некоторых основных понятий.

Симметрическая группа \( S_3 \)

Симметрическая группа \( S_3 \) — это группа всех перестановок трех элементов. Ее элементы и группа выглядят так:

• \( e \) (тождественная перестановка)
• \( (12) \) (перестановка первых двух элементов)
• \( (13) \)
• \( (23) \)
• \( (123) \)
• \( (132) \)

Нетривиальные подгруппы

В \( S_3 \) нетривиальные подгруппы:

• Подгруппа \( \{e, (12)\} \)
• Подгруппа \( \{e, (13)\} \)
• Подгруппа \( \{e, (23)\} \)
• Подгруппа \( \{e, (123), (132)\} \) (циклическая, порядок 3)

Левые и правые смежные классы

Для каждой подгруппы \( H \) можно найти левые и правые смежные классы. Смежный класс — это множество элементов, которые можно получить применением элемента группы к элементам подгруппы.

1. Подгруппа \(\{e, (12)\}\):

   • Левые смежные классы: \( \{e, (12)\}, \{(13), (132)\}, \{(23), (123)\} \)
   • Правые смежные классы: аналогично левым, так как \( S_3 \) — группа перестановок.

2. Подгруппа \(\{e, (13)\}\):

   • Левые смежные классы: \( \{e, (13)\}, \{(12), (123)\}, \{(23), (132)\} \)
   • Правые смежные классы: совпадают с левыми смежными.

3. Подгруппа \(\{e, (23)\}\):

   • Левые смежные классы: \( \{e, (23)\}, \{(12), (132)\}, \{(13), (123)\} \)
   • Правые смежные классы: совпадают с левыми смежными.

4. Циклическая подгруппа порядка 3 \(\{e, (123), (132)\}\):

   • Левые смежные классы: \( \{e, (123), (132)\}, \{(12), (13), (23)\} \)
   • Правые смежные классы: совпадают с левыми смежными.

Выводы

Смежные классы одинаковы как для левых, так и для правых, поскольку для симметрической группы порядок подгрупп и смежных классов одинаков.

Если что-то неясно или требуется помощь с другой частью задачи, дайте знать!