Дано дерево, количество вершин в котором равно 38. Определи, каким в нем может быть наименьшее и наибольшее число кольцевых вершин

Для решения задачи о кольцевых вершинах в дереве с 38 вершинами сначала разберем понятия, которые нам помогут.

Понятие дерева

Дерево — это связный граф без циклов. В дереве с \( n \) вершинами всегда \( n-1 \) ребер, что делает его довольно простым графом.

Понятие кольцевых вершин

Кольцевыми вершинами можно называть вершины, которые имеют степень (то есть количество смежных с ними вершин) больше 2. То есть, кольцевая вершина — это не «концевая» вершина.

Наименьшее число кольцевых вершин

Чтобы минимизировать количество кольцевых вершин, нам нужно сделать, чтобы как можно больше вершин оставались «концевыми». У дерева есть как минимум две конечные вершины (листья), и их количество можно увеличить, создав структуру, которая будет иметь много "ветвлений".

Пример минимального случая: Наименьшее число кольцевых вершин будет 1 в случае, если у нас есть 37 концов (листьев) и одна центральная вершина, которая соединяет их. Таким образом, в данном случае есть 1 кольцевая вершина.

Наибольшее число кольцевых вершин

Чтобы максимизировать количество кольцевых вершин, нам нужно создать структуру дерева, где большее число вершин имеет степень 3 и выше.

Пример максимального случая: Для 38 вершин можно создать структуру, где:

1. Верша зная структура, как "звезда", с 1 центральной (кольцевой) вершиной и всеми остальными 37 вершинами, соединенными только с этой центральной вершиной (это 1 кольцевая вершина).
2. Однако, чтобы увеличить число кольцевых вершин, можно создать терем, где у нас будут несколько соединений.

Некоторые комбинации включают создание поддеревьев с вершинами, у которых больше соединений. Однако, максимальное количество кольцевых вершин можно выразить, пока 37 вершин могут быть расположены так, чтобы 16 из них имели по 3 соединения (3 кольцевые вершины) и оставшиеся 21 — листья, причем с минимальными начальными соединениями.

Это теоретически предлагает нам максимальные кольцевые вершины в пределах, равным 37.

Вывод

1. Наименьшее число кольцевых вершин: 1 (в случае, если есть 1 центр и 37 концов).
2. Наибольшее число кольцевых вершин: 36 (если 37 вершин могут быть организованы так, чтобы имели соединения с двойной указкой).

Таким образом, итог:

• Минимум кольцевых вершин: 1
• Максимум кольцевых вершин: 36