Для решения задачи о том, сколькими способами можно выбрать 4 книги из 11, мы будем использовать комбинаторику и формулу сочетаний.
Шаг 1: Понять, что такое сочетания.
Сочетания — это выбор предметов из множества, где порядок не имеет значения. В нашем случае мы хотим выбрать 4 книги из 11.
Шаг 2: Записать формулу сочетаний.
Формула для вычисления количества сочетаний из n по k выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество предметов (в нашем случае 11 книг),
- ( k ) — количество предметов, которые мы выбираем (у нас 4 книги),
- ( n! ) — факториал числа ( n ), который равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до ( n ).
Шаг 3: Подставить значения в формулу.
В нашем случае:
Подставляем в формулу:
[
C(11, 4) = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!}
]
Шаг 4: Упрощение выражения.
Теперь давайте упростим выражение. Факториал 11 можно разложить так:
[
11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!
]
Теперь подставляем это в нашу формулу:
[
C(11, 4) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{4! \cdot 7!}
]
Заметим, что ( 7! ) сокращается:
[
C(11, 4) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4!}
]
Теперь вычислим ( 4! ):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Шаг 5: Завершение вычислений.
Теперь у нас есть выражение:
[
C(11, 4) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{24}
]
Вычисляем числитель:
[
11 \times 10 = 110
]
[
110 \times 9 = 990
]
[
990 \times 8 = 7920
]
Теперь делим на 24:
[
C(11, 4) = \frac{7920}{24} = 330
]
Ответ:
Таким образом, существует 330 способов выбрать 4 книги из 11.
