Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность…

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

Часть а: Независимость событий

Сначала определим, что такое независимые события. Два события A и B называются независимыми, если выполнение одного не влияет на вероятность выполнения другого. Формально, события A и B независимы, если выполняется следующее условие:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Где:

• \( P(A \cap B) \) — вероятность того, что оба события произойдут.
• \( P(A) \) — вероятность события A (в нашем случае, "в первый раз выпал орёл").
• \( P(B) \) — вероятность события B (в нашем случае, "решка выпала дважды").

Определим события:

1. Событие A: "В первый раз выпал орёл."
2. Событие B: "Решка выпала дважды."

Находим вероятность события A:

При броске монеты вероятность выпадения орла равна \( \frac{1}{2} \). Если монета бросается 3 раза, то вероятность того, что первый бросок — орёл, равна \( \frac{1}{2} \).

\[ P(A) = \frac{1}{2} \]

Находим вероятность события B:

Событие B состоит из всех возможных исходов, в которых выпало ровно 2 решки. Для 3 бросков монеты у нас есть следующие исходы с 2 решками и 1 орлом:

• РРO
• ROR
• ORR

Здесь "Р" — решка, "O" — орёл. Мы видим, что существует 3 благоприятных исхода. Общее количество исходов при 3 бросках монеты составляет \( 2^3 = 8 \) (каждый бросок может закончиться либо орлом, либо решкой).

Таким образом, вероятность события B:

\[ P(B) = \frac{3}{8} \]

Находим вероятность объединения событий (P(A ∩ B)):

Теперь нам нужно найти вероятность того, что первый бросок — орёл и при этом выпало ровно две решки. Это может произойти, если первый бросок — орёл и решки выпали на втором и третьем бросках. Таким образом, единственный исход, который удовлетворяет этим условиям — это OРР.

Следовательно, вероятность того, что первый раз выпал орёл и выпало две решки:

\[ P(A \cap B) = P(\text{O, R, R}) = \frac{1}{8} \]

Проверяем независимость:

Теперь, используя найденные вероятности, проверим условия на независимость:

\[ P(A) \cdot P(B) = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{3}{16} \]

Теперь сравниваем \( P(A \cap B) \) с \( P(A) \cdot P(B) \):

• \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} = \frac{2}{16} \)
• \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \)

Поскольку \( \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16} \), события A и B не являются независимыми.

Ответ на часть а:

События не независимы.

---

Часть б: Вероятность объединения событий (P(A ∪ B))

Для нахождения вероятности объединения событий воспользуемся формулой:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Мы уже рассчитали все необходимые вероятности:

• \( P(A) = \frac{1}{2} \)
• \( P(B) = \frac{3}{8} \)
• \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \)

Теперь подставим значения:

\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \]

Сначала преобразуем \( P(A) \):

\[ P(A) = \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \]

Теперь подставляем:

\[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Ответ на часть б:

Вероятность объединения событий P(A ∪ B) = \( \frac{3}{4} \).