Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность объединения этих * событий.

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом. ### Часть а: Независимость событий Сначала определим, что такое независимые события. Два события A и B называются независимыми, если выполнение одного не влияет на вероятность выполнения другого. Формально, события A и B независимы, если выполняется следующее условие: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Где: - \( P(A \cap B) \) — вероятность того, что оба события произойдут. - \( P(A) \) — вероятность события A (в нашем случае, "в первый раз выпал орёл"). - \( P(B) \) — вероятность события B (в нашем случае, "решка выпала дважды"). #### Определим события: 1. **Событие A:** "В первый раз выпал орёл." 2. **Событие B:** "Решка выпала дважды." #### Находим вероятность события A: При броске монеты вероятность выпадения орла равна \( \frac{1}{2} \). Если монета бросается 3 раза, то вероятность того, что первый бросок — орёл, равна \( \frac{1}{2} \). \[ P(A) = \frac{1}{2} \] #### Находим вероятность события B: Событие B состоит из всех возможных исходов, в которых выпало ровно 2 решки. Для 3 бросков монеты у нас есть следующие исходы с 2 решками и 1 орлом: - РРO - ROR - ORR Здесь "Р" — решка, "O" — орёл. Мы видим, что существует 3 благоприятных исхода. Общее количество исходов при 3 бросках монеты составляет \( 2^3 = 8 \) (каждый бросок может закончиться либо орлом, либо решкой). Таким образом, вероятность события B: \[ P(B) = \frac{3}{8} \] #### Находим вероятность объединения событий (P(A ∩ B)): Теперь нам нужно найти вероятность того, что первый бросок — орёл и при этом выпало ровно две решки. Это может произойти, если первый бросок — орёл и решки выпали на втором и третьем бросках. Таким образом, единственный исход, который удовлетворяет этим условиям — это OРР. Следовательно, вероятность того, что первый раз выпал орёл и выпало две решки: \[ P(A \cap B) = P(\text{O, R, R}) = \frac{1}{8} \] #### Проверяем независимость: Теперь, используя найденные вероятности, проверим условия на независимость: \[ P(A) \cdot P(B) = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{3}{16} \] Теперь сравниваем \( P(A \cap B) \) с \( P(A) \cdot P(B) \): - \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} = \frac{2}{16} \) - \( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{16} \) Поскольку \( \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16} \), события A и B **не являются независимыми**. ### Ответ на часть а: **События не независимы.** --- ### Часть б: Вероятность объединения событий (P(A ∪ B)) Для нахождения вероятности объединения событий воспользуемся формулой: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Мы уже рассчитали все необходимые вероятности: - \( P(A) = \frac{1}{2} \) - \( P(B) = \frac{3}{8} \) - \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \) Теперь подставим значения: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \] Сначала преобразуем \( P(A) \): \[ P(A) = \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \] Теперь подставляем: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] ### Ответ на часть б: **Вероятность объединения событий P(A ∪ B) = \( \frac{3}{4} \)**.