Давай разберем каждую из задач отдельно.
Задача 1
Условие: Площадь круга равна 51,6 см². Необходимо найти длину окружности.
Шаг 1: Использование формулы для площади круга.
Площадь ( S ) круга можно вычислить по формуле:
[
S = \pi r^2
]
где ( S ) — площадь, ( r ) — радиус, а ( \pi ) примерно равен 3,14.
Шаг 2: Выразим радиус через площадь.
Чтобы найти радиус, преобразуем формулу:
[
r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}
]
Подставляем известные значения:
[
r = \sqrt{\frac{51,6}{3,14}} \approx \sqrt{16,43} \approx 4,05 \text{ см}
]
Шаг 3: Найдем длину окружности.
Длина окружности ( L ) рассчитывается по формуле:
[
L = 2 \pi r
]
Теперь подставляем наш радиус:
[
L = 2 \pi \cdot 4,05 \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 4,05 \approx 25,49 \text{ см}
]
Ответ:
Длина окружности равна приблизительно 25,49 см.
Задача 2
Условие: Дана окружность с центром ( O ) и радиусом ( 8 ) м, меньшая дуга стянута хордой ( MN ), имеющей градусную меру ( 60^\circ ). Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Шаг 1: Найдем площадь сектора.
Площадь сектора ( S ) в круге можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2
]
где ( \alpha ) — градусная мера угла сектора. В нашем случае:
[
S = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 8^2
]
Шаг 2: Подставим значения и посчитаем.
[
S = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 64 \approx \frac{64 \cdot 3,14}{6} \approx \frac{200,96}{6} \approx 33,49 \text{ м}^2
]
Шаг 3: Найдем площадь треугольника ( OMN ).
Треугольник ( OMN ) — равносторонний, так как угол при центре равен ( 60^\circ ). Площадь равностороннего треугольника:
[
S_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
где ( a ) — длина стороны. Мы можем найти ( a ) следующим образом:
[
a = 2r \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot 0,5 = 8 \text{ м}
]
Теперь подставим в формулу для площади треугольника:
[
S_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 \approx 27,71 \text{ м}^2
]
Шаг 4: Найдем заштрихованную площадь.
Заштрихованная площадь равна площади сектора минус площадь треугольника:
[
S_{заштрихованной} = S_{сектора} - S_{треугольника}
]
Подставляем значения:
[
S_{заштрихованной} \approx 33,49 - 27,71 \approx 5,78 \text{ м}^2
]
Ответ:
Площадь заштрихованной фигуры равна приблизительно 5,78 м².
