упростите выражение x*|2x+1|-2*(x+1)*|x|
Чтобы упростить выражение \( x \cdot |2x + 1| - 2 \cdot (x + 1) \cdot |x| \), давайте рассмотрим его шаг за шагом.
Разбор абсолютных значений: Абсолютное значение \( |a| \) определяется как:
- \( a \), если \( a \geq 0 \)
- \( -a \), если \( a < 0 \)
В нашем выражении есть два абсолютных значения: \( |2x + 1| \) и \( |x| \). Чтобы упростить выражение, нужно учитывать, при каких значениях переменной \( x \) каждое из этих значений положительное или отрицательное.
Для \( |x| \):
- Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \)
- Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \)
Для \( |2x + 1| \): Мы решаем неравенство \( 2x + 1 \geq 0 \): \[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] То есть, \( |2x + 1| \) можно разбить на два случая:
- Если \( x \geq -\frac{1}{2} \), то \( |2x + 1| = 2x + 1 \)
- Если \( x < -\frac{1}{2} \), то \( |2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1 \)
Разбиение на случаи:
Теперь разобьем выражение на три случая в зависимости от значений \( x \):
Случай 1: \( x \geq 0 \)
В этом случае:
- \( |x| = x \)
- \( |2x + 1| = 2x + 1 \)
Заменяем абсолютные значения в выражении: \[ x \cdot (2x + 1) - 2 \cdot (x + 1) \cdot x \] Упрощаем: \[ = 2x^2 + x - 2(x^2 + x) \] \[ = 2x^2 + x - 2x^2 - 2x \] \[ = -x \]
Случай 2: \( -\frac{1}{2} \leq x < 0 \)
В этом случае:
- \( |x| = -x \)
- \( |2x + 1| = 2x + 1 \)
Заменяем: \[ x \cdot (2x + 1) - 2 \cdot (x + 1) \cdot (-x) \] Упрощаем: \[ = 2x^2 + x + 2x^2 + 2x \] \[ = 4x^2 + 3x \]
Случай 3: \( x < -\frac{1}{2} \)
В этом случае:
- \( |x| = -x \)
- \( |2x + 1| = -2x - 1 \)
Заменяем: \[ x \cdot (-2x - 1) - 2 \cdot (x + 1) \cdot (-x) \] Упрощаем: \[ = -2x^2 - x + 2(x^2 + x) \] \[ = -2x^2 - x + 2x^2 + 2x \] \[ = x \]
- Итог: Теперь мы можем обобщить все найденные результаты для различных диапазонов \( x \):
- Когда \( x \geq 0 \): \( -x \)
- Когда \( -\frac{1}{2} \leq x < 0 \): \( 4x^2 + 3x \)
- Когда \( x < -\frac{1}{2} \): \( x \)
Таким образом, окончательное упрощенное выражение будет зависеть от значения \( x \).
