Упростите выражение x*|2x+1|-2*(x+1)*|x|

Чтобы упростить выражение \( x \cdot |2x + 1| - 2 \cdot (x + 1) \cdot |x| \), давайте рассмотрим его шаг за шагом. 1. **Разбор абсолютных значений:** Абсолютное значение \( |a| \) определяется как: - \( a \), если \( a \geq 0 \) - \( -a \), если \( a < 0 \) В нашем выражении есть два абсолютных значения: \( |2x + 1| \) и \( |x| \). Чтобы упростить выражение, нужно учитывать, при каких значениях переменной \( x \) каждое из этих значений положительное или отрицательное. - **Для \( |x| \)**: - Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \) - Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \) - **Для \( |2x + 1| \)**: Мы решаем неравенство \( 2x + 1 \geq 0 \): \[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] То есть, \( |2x + 1| \) можно разбить на два случая: - Если \( x \geq -\frac{1}{2} \), то \( |2x + 1| = 2x + 1 \) - Если \( x < -\frac{1}{2} \), то \( |2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1 \) 2. **Разбиение на случаи:** Теперь разобьем выражение на три случая в зависимости от значений \( x \): **Случай 1:** \( x \geq 0 \) В этом случае: - \( |x| = x \) - \( |2x + 1| = 2x + 1 \) Заменяем абсолютные значения в выражении: \[ x \cdot (2x + 1) - 2 \cdot (x + 1) \cdot x \] Упрощаем: \[ = 2x^2 + x - 2(x^2 + x) \] \[ = 2x^2 + x - 2x^2 - 2x \] \[ = -x \] **Случай 2:** \( -\frac{1}{2} \leq x < 0 \) В этом случае: - \( |x| = -x \) - \( |2x + 1| = 2x + 1 \) Заменяем: \[ x \cdot (2x + 1) - 2 \cdot (x + 1) \cdot (-x) \] Упрощаем: \[ = 2x^2 + x + 2x^2 + 2x \] \[ = 4x^2 + 3x \] **Случай 3:** \( x < -\frac{1}{2} \) В этом случае: - \( |x| = -x \) - \( |2x + 1| = -2x - 1 \) Заменяем: \[ x \cdot (-2x - 1) - 2 \cdot (x + 1) \cdot (-x) \] Упрощаем: \[ = -2x^2 - x + 2(x^2 + x) \] \[ = -2x^2 - x + 2x^2 + 2x \] \[ = x \] 3. **Итог:** Теперь мы можем обобщить все найденные результаты для различных диапазонов \( x \): - Когда \( x \geq 0 \): \( -x \) - Когда \( -\frac{1}{2} \leq x < 0 \): \( 4x^2 + 3x \) - Когда \( x < -\frac{1}{2} \): \( x \) Таким образом, окончательное упрощенное выражение будет зависеть от значения \( x \).