Вопрос от Анонимного юзера 17 марта 2025 20:10

Question 1

Реши

Answer

Для решения заданий по комплексным числам, давайте разберемся в каждом из них:

1. Даны числа:

( Z_1 = 3 + 4i )
( Z_2 = 6 + 2i )

a) ( z_1 + z_2 )

Сумма комплексных чисел получается путем сложения их действительных и мнимых частей отдельно:

[ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (6 + 2i) = (3+6) + (4i+2i) = 9 + 6i ]

b) ( z_1 \cdot z_2 )

Произведение комплексных чисел рассчитывается следующим образом, используя распределительное свойство:

[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(6 + 2i) ]

Раскрываем скобки:

[ = 3 \cdot 6 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 6 + 4i \cdot 2i ]

[ = 18 + 6i + 24i + 8i^2 ]

Поскольку (i^2 = -1), то (8i^2 = -8):

[ = 18 + 30i - 8 ]

[ = 10 + 30i ]

c) ( \frac{z_1}{z_2} )

Находим частное двух комплексных чисел, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателя:

[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{6 + 2i} \cdot \frac{6 - 2i}{6 - 2i} ]

Числитель:

[ (3 + 4i)(6 - 2i) = 18 - 6i + 24i - 8i^2 = 18 + 18i + 8 = 26 + 18i ]

Знаменатель:

[ (6 + 2i)(6 - 2i) = 36 - 4i^2 = 36 + 4 = 40 ]

Таким образом:

[ \frac{26 + 18i}{40} = \frac{26}{40} + \frac{18i}{40} = \frac{13}{20} + \frac{9i}{20} ]

2. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел:

[ z^2 + 6z + 13 = 0 ]

Используем формулу квадратного уравнения для комплексных чисел:

[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = 6 ), ( c = 13 ).

Подставляем значения:

[ z = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} ]

[ = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} ]

[ = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} ]

[ = \frac{-6 \pm 4i}{2} ]

Находим корни:

[ z_1 = -3 + 2i, \quad z_2 = -3 - 2i ]

3. Представить число в тригонометрической форме

Дано:

[ z = 1 + \sqrt{3}i ]

Определяем модуль числа ( |z| ):

[ |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 ]

Угол ( \theta ) находим с помощью арктангенса:

[ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} ]

(\theta) соответствует ( \frac{\pi}{3} ) в первом квадранте.

Таким образом, в тригонометрической форме:

[ z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) ]

Это завершает разбор всех заданий.

Question 2

реши

Answer

Для решения заданий по комплексным числам, давайте разберемся в каждом из них: ### 1. Даны числа: - \( Z_1 = 3 + 4i \) - \( Z_2 = 6 + 2i \) #### a) \( z_1 + z_2 \) Сумма комплексных чисел получается путем сложения их действительных и мнимых частей отдельно: \[ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (6 + 2i) = (3+6) + (4i+2i) = 9 + 6i \] #### b) \( z_1 \cdot z_2 \) Произведение комплексных чисел рассчитывается следующим образом, используя распределительное свойство: \[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(6 + 2i) \] Раскрываем скобки: \[ = 3 \cdot 6 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 6 + 4i \cdot 2i \] \[ = 18 + 6i + 24i + 8i^2 \] Поскольку \(i^2 = -1\), то \(8i^2 = -8\): \[ = 18 + 30i - 8 \] \[ = 10 + 30i \] #### c) \( \frac{z_1}{z_2} \) Находим частное двух комплексных чисел, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателя: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{6 + 2i} \cdot \frac{6 - 2i}{6 - 2i} \] Числитель: \[ (3 + 4i)(6 - 2i) = 18 - 6i + 24i - 8i^2 = 18 + 18i + 8 = 26 + 18i \] Знаменатель: \[ (6 + 2i)(6 - 2i) = 36 - 4i^2 = 36 + 4 = 40 \] Таким образом: \[ \frac{26 + 18i}{40} = \frac{26}{40} + \frac{18i}{40} = \frac{13}{20} + \frac{9i}{20} \] ### 2. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел: \[ z^2 + 6z + 13 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения для комплексных чисел: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 13 \). Подставляем значения: \[ z = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} \] \[ = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} \] \[ = \frac{-6 \pm 4i}{2} \] Находим корни: \[ z_1 = -3 + 2i, \quad z_2 = -3 - 2i \] ### 3. Представить число в тригонометрической форме Дано: \[ z = 1 + \sqrt{3}i \] Определяем модуль числа \( |z| \): \[ |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] Угол \( \theta \) находим с помощью арктангенса: \[ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \] \(\theta\) соответствует \( \frac{\pi}{3} \) в первом квадранте. Таким образом, в тригонометрической форме: \[ z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \] Это завершает разбор всех заданий.