реши

Для решения заданий по комплексным числам, давайте разберемся в каждом из них:

1. Даны числа:

• \( Z_1 = 3 + 4i \)
• \( Z_2 = 6 + 2i \)

a) \( z_1 + z_2 \)

Сумма комплексных чисел получается путем сложения их действительных и мнимых частей отдельно:

\[ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (6 + 2i) = (3+6) + (4i+2i) = 9 + 6i \]

b) \( z_1 \cdot z_2 \)

Произведение комплексных чисел рассчитывается следующим образом, используя распределительное свойство:

\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(6 + 2i) \]

Раскрываем скобки:

\[ = 3 \cdot 6 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 6 + 4i \cdot 2i \]

\[ = 18 + 6i + 24i + 8i^2 \]

Поскольку \(i^2 = -1\), то \(8i^2 = -8\):

\[ = 18 + 30i - 8 \]

\[ = 10 + 30i \]

c) \( \frac{z_1}{z_2} \)

Находим частное двух комплексных чисел, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателя:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{6 + 2i} \cdot \frac{6 - 2i}{6 - 2i} \]

Числитель:

\[ (3 + 4i)(6 - 2i) = 18 - 6i + 24i - 8i^2 = 18 + 18i + 8 = 26 + 18i \]

Знаменатель:

\[ (6 + 2i)(6 - 2i) = 36 - 4i^2 = 36 + 4 = 40 \]

Таким образом:

\[ \frac{26 + 18i}{40} = \frac{26}{40} + \frac{18i}{40} = \frac{13}{20} + \frac{9i}{20} \]

2. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел:

\[ z^2 + 6z + 13 = 0 \]

Используем формулу квадратного уравнения для комплексных чисел:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 13 \).

Подставляем значения:

\[ z = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} \]

\[ = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} \]

\[ = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} \]

\[ = \frac{-6 \pm 4i}{2} \]

Находим корни:

\[ z_1 = -3 + 2i, \quad z_2 = -3 - 2i \]

3. Представить число в тригонометрической форме

Дано:

\[ z = 1 + \sqrt{3}i \]

Определяем модуль числа \( |z| \):

\[ |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]

Угол \( \theta \) находим с помощью арктангенса:

\[ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \]

\(\theta\) соответствует \( \frac{\pi}{3} \) в первом квадранте.

Таким образом, в тригонометрической форме:

\[ z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \]

Это завершает разбор всех заданий.