Чтобы найти сумму первых одиннадцати членов арифметической прогрессии, нужно сначала определить некоторые основные параметры прогрессии на основе данных, которые у нас есть.
Дано:
- Второй член прогрессии ( a_2 = 11 )
- Разность ( d = 5 )
Шаг 1: Найдем первый член прогрессии
Используя формулу для второго члена арифметической прогрессии, которая выглядит так:
[
a_2 = a_1 + d
]
где ( a_1 ) — первый член прогрессии, можно выразить ( a_1 ):
[
a_1 = a_2 - d = 11 - 5 = 6
]
Шаг 2: Проверим, какие члены мы находим
Теперь можем записать:
- Первый член: ( a_1 = 6 )
- Второй член: ( a_2 = 11 )
- Третий член: ( a_3 = a_1 + 2d = 6 + 2 \cdot 5 = 16 )
- Четвёртый член: ( a_4 = a_1 + 3d = 6 + 3 \cdot 5 = 21 )
- И так далее, до одиннадцатого члена.
Шаг 3: Сформулируем общий вид
Общий вид n-го члена арифметической прогрессии:
[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
]
С учетом найденного ( a_1 ) и ( d ):
[
a_n = 6 + (n-1) \cdot 5
]
Шаг 4: Найдем одиннадцатый член
Теперь подставим ( n = 11 ):
[
a_{11} = 6 + (11-1) \cdot 5 = 6 + 50 = 56
]
Шаг 5: Найдем сумму первых 11 членов
Сумма первых n членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Подставим наши найденные значения:
- ( n = 11 )
- ( a_1 = 6 )
- ( a_{11} = 56 )
Теперь находим сумму:
[
S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (6 + 56) = \frac{11}{2} \cdot 62 = \frac{682}{2} = 341
]
Ответ
Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии равна ( 341 ).
