Чтобы найти стороны прямоугольника, воспользуемся данными о его периметре и сумме квадратов сторон.
Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Периметр:
Периметр прямоугольника можно выразить через его стороны формулой:
[
P = 2(a + b)
]
По условию, периметр равен 18 см:
[
2(a + b) = 18
]
Поделим обе стороны уравнения на 2:
[
a + b = 9 \quad (1)
]
Сумма квадратов сторон:
Сумма квадратов сторон равна 45 см²:
[
a^2 + b^2 = 45 \quad (2)
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).
- Решение системы уравнений:
Из первого уравнения выразим одну сторону через другую. Пусть ( b = 9 - a ).
Подставим это значение во второе уравнение:
[
a^2 + (9 - a)^2 = 45
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45
]
Сложим подобные дроби:
[
2a^2 - 18a + 81 = 45
]
Теперь перенесем 45 на левую сторону:
[
2a^2 - 18a + 36 = 0
]
Упростим уравнение, поделив его на 2:
[
a^2 - 9a + 18 = 0
]
- Решим квадратное уравнение:
Чтобы решить уравнение, воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = -9 ), ( c = 18 ). Подставим эти значения:
[
a = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}
]
[
a = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}
]
[
a = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2}
]
[
a = \frac{9 \pm 3}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения для ( a ):
( a = \frac{12}{2} = 6 )
( a = \frac{6}{2} = 3 )
Найдем ( b ):
Теперь подставим значения ( a ) обратно в уравнение (1) ( a + b = 9 ):
Если ( a = 6 ):
[
6 + b = 9 \Rightarrow b = 3
]
Если ( a = 3 ):
[
3 + b = 9 \Rightarrow b = 6
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 3 см.
Ответ: Стороны прямоугольника: 6 см и 3 см.
