сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см^2 , а его периметр равен 18 см. Найдите стороны прямоугольника
Чтобы найти стороны прямоугольника, воспользуемся данными о его периметре и сумме квадратов сторон.
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
Периметр: Периметр прямоугольника можно выразить через его стороны формулой: \[ P = 2(a + b) \] По условию, периметр равен 18 см: \[ 2(a + b) = 18 \] Поделим обе стороны уравнения на 2: \[ a + b = 9 \quad (1) \]
Сумма квадратов сторон: Сумма квадратов сторон равна 45 см²: \[ a^2 + b^2 = 45 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2).
- Решение системы уравнений:
Из первого уравнения выразим одну сторону через другую. Пусть \( b = 9 - a \).
Подставим это значение во второе уравнение: \[ a^2 + (9 - a)^2 = 45 \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45 \] Сложим подобные дроби: \[ 2a^2 - 18a + 81 = 45 \]
Теперь перенесем 45 на левую сторону: \[ 2a^2 - 18a + 36 = 0 \] Упростим уравнение, поделив его на 2: \[ a^2 - 9a + 18 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение: Чтобы решить уравнение, воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = -9 \), \( c = 18 \). Подставим эти значения: \[ a = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2} \] \[ a = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ a = \frac{9 \pm 3}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения для \( a \):
\( a = \frac{12}{2} = 6 \)
\( a = \frac{6}{2} = 3 \)
Найдем \( b \): Теперь подставим значения \( a \) обратно в уравнение (1) \( a + b = 9 \):
Если \( a = 6 \): \[ 6 + b = 9 \Rightarrow b = 3 \]
Если \( a = 3 \): \[ 3 + b = 9 \Rightarrow b = 6 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 3 см.
Ответ: Стороны прямоугольника: 6 см и 3 см.
