22. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
23. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см3)?
24. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?
Рис. 189
Объемы и поверхности тел вращения
Давайте по очереди разберем каждую из задач.
### Задача 22
**Условие:** Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
**Решение:**
1. Сначала найдём объём каждого шара. Формула для объёма шара:
\[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
\]
где \( r \) — радиус шара.
2. Для шара с диаметром 25 см:
- Радиус: \( r_1 = \frac{25\, \text{см}}{2} = 12.5\, \text{см} \)
- Объём:
\[
V_1 = \frac{4}{3} \pi (12.5)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 1953.125 \approx 8179.75\, \text{см}^3
\]
3. Для шара с диаметром 35 см:
- Радиус: \( r_2 = \frac{35\, \text{см}}{2} = 17.5\, \text{см} \)
- Объём:
\[
V_2 = \frac{4}{3} \pi (17.5)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 5359.375 \approx 22483.69\, \text{см}^3
\]
4. Теперь найдём общий объём:
\[
V_{total} = V_1 + V_2 \approx 8179.75 + 22483.69 \approx 30663.44\, \text{см}^3
\]
5. Теперь найдём диаметр нового шара, объём которого равен \( V_{total} \):
\[
V = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow 30663.44 = \frac{4}{3} \pi R^3
\]
Выразим радиус:
\[
R^3 = \frac{30663.44 \cdot 3}{4 \pi} \approx 7298.69 \Rightarrow R \approx 19.24\, \text{см}
\]
6. Теперь найдём диаметр нового шара:
\[
D = 2R \approx 2 \cdot 19.24 \approx 38.48\, \text{см}
\]
**Ответ:** Диаметр нового шара примерно 38.5 см.
---
### Задача 23
**Условие:** Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см³)?
**Решение:**
1. Переведем массу свинца в граммы (1 кг = 1000 г).
2. Используем формулу для нахождения объёма:
\[
V = \frac{m}{\rho}
\]
где \( m \) — масса, \( \rho \) — плотность.
3. Подставим известные значения:
\[
V = \frac{1000\, \text{г}}{11.4\, \text{г/см}^3} \approx 87.72\, \text{см}^3
\]
4. Теперь найдём объём одного шарика:
- Радиус шарика: \( r = \frac{1\, \text{см}}{2} = 0.5\, \text{см} \)
- Объём шарика:
\[
V_{sharika} = \frac{4}{3} \pi r^3 \approx \frac{4}{3} \pi (0.5)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 0.125 \approx 0.52\, \text{см}^3
\]
5. Теперь рассчитаем, сколько таких шариков можно отлить:
\[
N = \frac{V}{V_{sharika}} \approx \frac{87.72\, \text{см}^3}{0.52\, \text{см}^3} \approx 168.38
\]
Поскольку количество шариков должно быть целым числом, округляем до 168.
**Ответ:** Можно отлить 168 шариков.
---
### Задача 24
**Условие:** Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?
**Решение:**
1. Пусть диаметр основания цилиндра равен \( D \), следовательно, высота \( H = D \).
- Радиус основания цилиндра \( r_c = \frac{D}{2} \).
2. Объём цилиндра:
\[
V_{cylinder} = \pi r_c^2 H = \pi \left(\frac{D/2}{2}\right)^2 D = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 D = \frac{\pi D^3}{4}
\]
3. Объём наибольшего шарика, который можно выточить из цилиндра:
- Его радиус равен \( r_s = \frac{D}{2} \).
- Объём шара:
\[
V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r_s^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{D^3}{8} = \frac{\pi D^3}{6}
\]
4. Теперь определим, сколько материала было сточено:
\[
V_{lost} = V_{cylinder} - V_{sphere} = \frac{\pi D^3}{4} - \frac{\pi D^3}{6}
\]
Находим общий дробь:
\[
V_{lost} = \frac{3\pi D^3}{12} - \frac{2\pi D^3}{12} = \frac{\pi D^3}{12}
\]
5. Процент сточенного материала:
\[
\text{Процент} = \frac{V_{lost}}{V_{cylinder}} \cdot 100\% = \frac{\frac{\pi D^3}{12}}{\frac{\pi D^3}{4}} \cdot 100\% = \frac{4}{12} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33.33\, \%
\]
**Ответ:** Материала сточено примерно 33.33%.
