22. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара. 23. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1…

Давайте по очереди разберем каждую из задач.

Задача 22

Условие: Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.

Решение:

1. Сначала найдём объём каждого шара. Формула для объёма шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] где \( r \) — радиус шара.

2. Для шара с диаметром 25 см:

   • Радиус: \( r_1 = \frac{25\, \text{см}}{2} = 12.5\, \text{см} \)
   • Объём: \[ V_1 = \frac{4}{3} \pi (12.5)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 1953.125 \approx 8179.75\, \text{см}^3 \]

3. Для шара с диаметром 35 см:

   • Радиус: \( r_2 = \frac{35\, \text{см}}{2} = 17.5\, \text{см} \)
   • Объём: \[ V_2 = \frac{4}{3} \pi (17.5)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 5359.375 \approx 22483.69\, \text{см}^3 \]

4. Теперь найдём общий объём: \[ V_{total} = V_1 + V_2 \approx 8179.75 + 22483.69 \approx 30663.44\, \text{см}^3 \]

5. Теперь найдём диаметр нового шара, объём которого равен \( V_{total} \): \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow 30663.44 = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Выразим радиус: \[ R^3 = \frac{30663.44 \cdot 3}{4 \pi} \approx 7298.69 \Rightarrow R \approx 19.24\, \text{см} \]

6. Теперь найдём диаметр нового шара: \[ D = 2R \approx 2 \cdot 19.24 \approx 38.48\, \text{см} \]

Ответ: Диаметр нового шара примерно 38.5 см.

Задача 23

Условие: Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см³)?

Решение:

1. Переведем массу свинца в граммы (1 кг = 1000 г).

2. Используем формулу для нахождения объёма: \[ V = \frac{m}{\rho} \] где \( m \) — масса, \( \rho \) — плотность.

3. Подставим известные значения: \[ V = \frac{1000\, \text{г}}{11.4\, \text{г/см}^3} \approx 87.72\, \text{см}^3 \]

4. Теперь найдём объём одного шарика:

   • Радиус шарика: \( r = \frac{1\, \text{см}}{2} = 0.5\, \text{см} \)
   • Объём шарика: \[ V_{sharika} = \frac{4}{3} \pi r^3 \approx \frac{4}{3} \pi (0.5)^3 \approx \frac{4}{3} \pi \cdot 0.125 \approx 0.52\, \text{см}^3 \]

5. Теперь рассчитаем, сколько таких шариков можно отлить: \[ N = \frac{V}{V_{sharika}} \approx \frac{87.72\, \text{см}^3}{0.52\, \text{см}^3} \approx 168.38 \] Поскольку количество шариков должно быть целым числом, округляем до 168.

Ответ: Можно отлить 168 шариков.

Задача 24

Условие: Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?

Решение:

1. Пусть диаметр основания цилиндра равен \( D \), следовательно, высота \( H = D \).

   • Радиус основания цилиндра \( r_c = \frac{D}{2} \).

2. Объём цилиндра: \[ V_{cylinder} = \pi r_c^2 H = \pi \left(\frac{D/2}{2}\right)^2 D = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 D = \frac{\pi D^3}{4} \]

3. Объём наибольшего шарика, который можно выточить из цилиндра:

   • Его радиус равен \( r_s = \frac{D}{2} \).
   • Объём шара: \[ V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r_s^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{D^3}{8} = \frac{\pi D^3}{6} \]

4. Теперь определим, сколько материала было сточено: \[ V_{lost} = V_{cylinder} - V_{sphere} = \frac{\pi D^3}{4} - \frac{\pi D^3}{6} \] Находим общий дробь: \[ V_{lost} = \frac{3\pi D^3}{12} - \frac{2\pi D^3}{12} = \frac{\pi D^3}{12} \]

5. Процент сточенного материала: \[ \text{Процент} = \frac{V_{lost}}{V_{cylinder}} \cdot 100\% = \frac{\frac{\pi D^3}{12}}{\frac{\pi D^3}{4}} \cdot 100\% = \frac{4}{12} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33.33\, \% \]

Ответ: Материала сточено примерно 33.33%.