Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=5, а DC=13 см. Отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC…
Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=5, а DC=13 см. Отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC составляет 144 см². Найди площадь меньшего из образовавшихся треугольников, ответ дай в квадратных сантиметров.
Для решения задачи начнем с анализа треугольника ABC и с использованием данных о точке D на стороне AC. Точку D делят сторону AC на два отрезка: AD и DC.
Даные:
- \( AD = 5 \) см
- \( DC = 13 \) см
- Площадь \( \triangle ABC = 144 \) см².
Найдем длину AC:
Чтобы найти всю длину AC, сложим отрезки AD и DC: \[ AC = AD + DC = 5 + 13 = 18 \, \text{см}. \]Определим отношение отрезков AD и DC:
Теперь найдем отношение (или долю) которых делит точка D сторону AC: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{5}{18}, \quad \frac{DC}{AC} = \frac{13}{18}. \]Найдем площади треугольников ABD и DBC:
Площадь треугольника ABC делится на две части, и площадь каждого из этих треугольников будет пропорциональна длинам отрезков AD и DC. Таким образом, площади можно вычислить следующим образом:Площадь треугольника ABD: \[ S_{ABD} = S_{ABC} \cdot \frac{AD}{AC} = 144 \cdot \frac{5}{18}. \]
Площадь треугольника DBC: \[ S_{DBC} = S_{ABC} \cdot \frac{DC}{AC} = 144 \cdot \frac{13}{18}. \]
Подсчитаем площади:
Начнем с площади ABD: \[ S_{ABD} = 144 \cdot \frac{5}{18} = 144 \cdot \frac{5}{18} = 40 \, \text{см}^2. \]Теперь вычислим площадь DBC: \[ S_{DBC} = 144 \cdot \frac{13}{18} = 144 \cdot \frac{13}{18} = 104 \, \text{см}^2. \]
Определим меньшую из площадей:
Площадь треугольника ABD составляет \( 40 \) см², а DBC — \( 104 \) см². Меньшая площадь из этих двух является: \[ \text{Меньшая площадь} = 40 \, \text{см}^2. \]
Ответ: площадь меньшего из образовавшихся треугольников составляет \( 40 \, \text{см}^2 \).
