В прямоугольном треугольнике M N K MNK ∠ N = 90 ° ∠N=90° , ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы M K MK , если M K + N K = 11 , 7 MK+NK=11,7 мм?
Давайте решим задачу шаг за шагом:
В данном треугольнике у нас есть прямой угол \( \angle N = 90^\circ \) и угол \( \angle K = 60^\circ \). Значит, угол \( \angle M \) можно вычислить по правилам, что сумма всех углов в треугольнике равна \( 180^\circ \):
\[ \angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Теперь мы имеем прямоугольный треугольник \( \triangle MNK \) с углами \( 30^\circ \), \( 60^\circ \) и \( 90^\circ \).
В таких треугольниках есть известные соотношения между длинами сторон:
- Сторона против угла \( 30^\circ \) (в нашем случае это сторона \( NK \)) в два раза короче гипотенузы.
- Сторона против угла \( 60^\circ \) (это сторона \( MN \)) равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) умноженную на гипотенузу.
Обозначим:
- \( MK \) — гипотенуза,
- \( NK \) — противоположная сторона относительно угла \( M \) (длина выражается как \( \frac{MK}{2} \)),
- \( MN \) — прилежащая сторона относительно угла \( M \) (длина выражается как \( \frac{\sqrt{3}}{2} MK \)).
Согласно условию, нам дано, что:
\[ MK + NK = 11.7 \]
Теперь подставим выражение для \( NK \):
\[ MK + \frac{MK}{2} = 11.7 \]
Объединим \( MK \):
\[ \frac{2MK + MK}{2} = 11.7 \] \[ \frac{3MK}{2} = 11.7 \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 3MK = 23.4 \]
Теперь разделим обе стороны на 3:
\[ MK = \frac{23.4}{3} = 7.8 \]
Таким образом, длина гипотенузы \( MK \) равна \( 7.8 \) мм.
Ответ: Гипотенуза \( MK = 7.8 \) мм.
