отдыхающих можно разместить в котеджах по 12 человек и по 8 человек,при этом в котеджах6не останеться свободных мест.Сколько было отдыхающих если их больше 71 но меньше 80?
Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
Итак, мы знаем, что количество отдыхающих \( N \) должно соответствовать следующим условиям:
- Когда отдыхающие размещаются по 12 человек в коттедже, остаётся 6 свободных мест.
- Когда размещаются по 8 человек в коттедже, также остаётся 6 свободных мест.
- Количество отдыхающих больше 71, но меньше 80.
Начнем с первого условия: когда отдыхающие размещаются по 12 человек.
- Если в одном коттедже может разместиться 12 человек, и остаётся 6 свободных мест, то число отдыхающих \( N \) может быть представлено как: \[ N = 12k + 6 \] где \( k \) — количество заполненных коттеджей.
Теперь перейдем ко второму условию: когда отдыхающие размещаются по 8 человек.
- Если в коттедже может разместиться 8 человек, и также остаётся 6 свободных мест, то аналогично: \[ N = 8m + 6 \] где \( m \) — количество заполненных коттеджей.
Теперь у нас есть две формулы:
\[ N = 12k + 6 \] \[ N = 8m + 6 \]
Так как свободные места одинаковы, мы можем приравнять правые части обоих уравнений, получая: \[ 12k + 6 = 8m + 6 \]
Убираем 6 из обеих сторон: \[ 12k = 8m \]
Это можно упростить, разделив обе стороны на 4: \[ 3k = 2m \] или \[ m = \frac{3}{2}k \]
Таким образом, \( m \) всегда будет целым числом, если \( k \) — четное число (например, 0, 2, 4 и т.д.).
Теперь мы можем подставить разные значения \( k \) и вычислить \( N \). Но прежде чем продолжить, помним, что \( N \) должно быть больше 71 и меньше 80.
Подставляем \( k \):
- Для \( k = 0: N = 12(0) + 6 = 6\) (не подойдёт)
- Для \( k = 2: N = 12(2) + 6 = 30\) (не подойдёт)
- Для \( k = 4: N = 12(4) + 6 = 54\) (не подойдёт)
- Для \( k = 6: N = 12(6) + 6 = 78\) (подходит)
Теперь проверим, подходит ли это значение для второго уравнения, найдём \( m \): \[ N = 8m + 6 \implies 78 = 8m + 6 \implies 8m = 72 \implies m = 9 \]
Проверим диапазон:
- \( 71 < 78 < 80 \) (условие выполняется).
Таким образом, количество отдыхающих: \[ \boxed{78} \]
