Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
Итак, мы знаем, что количество отдыхающих ( N ) должно соответствовать следующим условиям:
- Когда отдыхающие размещаются по 12 человек в коттедже, остаётся 6 свободных мест.
- Когда размещаются по 8 человек в коттедже, также остаётся 6 свободных мест.
- Количество отдыхающих больше 71, но меньше 80.
Начнем с первого условия: когда отдыхающие размещаются по 12 человек.
- Если в одном коттедже может разместиться 12 человек, и остаётся 6 свободных мест, то число отдыхающих ( N ) может быть представлено как:
[
N = 12k + 6
]
где ( k ) — количество заполненных коттеджей.
Теперь перейдем ко второму условию: когда отдыхающие размещаются по 8 человек.
- Если в коттедже может разместиться 8 человек, и также остаётся 6 свободных мест, то аналогично:
[
N = 8m + 6
]
где ( m ) — количество заполненных коттеджей.
Теперь у нас есть две формулы:
[
N = 12k + 6
]
[
N = 8m + 6
]
Так как свободные места одинаковы, мы можем приравнять правые части обоих уравнений, получая:
[
12k + 6 = 8m + 6
]
Убираем 6 из обеих сторон:
[
12k = 8m
]
Это можно упростить, разделив обе стороны на 4:
[
3k = 2m
]
или
[
m = \frac{3}{2}k
]
Таким образом, ( m ) всегда будет целым числом, если ( k ) — четное число (например, 0, 2, 4 и т.д.).
Теперь мы можем подставить разные значения ( k ) и вычислить ( N ). Но прежде чем продолжить, помним, что ( N ) должно быть больше 71 и меньше 80.
Подставляем ( k ):
- Для ( k = 0: N = 12(0) + 6 = 6) (не подойдёт)
- Для ( k = 2: N = 12(2) + 6 = 30) (не подойдёт)
- Для ( k = 4: N = 12(4) + 6 = 54) (не подойдёт)
- Для ( k = 6: N = 12(6) + 6 = 78) (подходит)
Теперь проверим, подходит ли это значение для второго уравнения, найдём ( m ):
[
N = 8m + 6 \implies 78 = 8m + 6 \implies 8m = 72 \implies m = 9
]
Проверим диапазон:
- ( 71 < 78 < 80 ) (условие выполняется).
Таким образом, количество отдыхающих:
[
\boxed{78}
]
