вычислите производную, применив правила дифференцирования: y=2cosx + 3lnx^4
Давайте вычислим производную функции \( y = 2\cos x + 3\ln(x^4) \), применяя правила дифференцирования.
Шаг 1: Найти производную каждого слагаемого отдельно
Первая часть: \( 2\cos x \)
Производная функции \( \cos x \) по \( x \) равна \( -\sin x \). Соответственно, используя правило о производной константы, мы получаем:
\[ \frac{d}{dx}(2\cos x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = 2(-\sin x) = -2\sin x \]
Вторая часть: \( 3\ln(x^4) \)
Здесь мы воспользуемся свойством логарифмов: \( \ln(x^4) = 4\ln x \). Теперь можем записать:
\[ 3\ln(x^4) = 3 \cdot 4\ln x = 12\ln x \]
Теперь найдем производную функции \( 12\ln x \). Производная функции \( \ln x \) равна \( \frac{1}{x} \):
\[ \frac{d}{dx}(12\ln x) = 12 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = 12 \cdot \frac{1}{x} = \frac{12}{x} \]
Шаг 2: Объединить результаты
Теперь объединим результаты, чтобы получить полную производную функции \( y \):
\[ \frac{dy}{dx} = -2\sin x + \frac{12}{x} \]
Ответ
Таким образом, производная функции \( y = 2\cos x + 3\ln(x^4) \) равна:
\[ \frac{dy}{dx} = -2\sin x + \frac{12}{x} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам, не стесняйтесь спрашивать!
