Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,3. Какова вероятность того, что стрелку потребуется не больше четырёх…

Давайте решим задачу о вероятности попадания в мишень.[^1]

Пусть вероятность попадания стрелка при одном выстреле равна \( p = 0.3 \). Следовательно, вероятность промаха будет \( q = 1 - p = 0.7 \).

Мы ищем вероятность того, что стрелку потребуется не более четырёх выстрелов для первого попадания.

Чтобы рассчитать эту вероятность, можно определить вероятность попадания на каждом из первых четырёх выстрелов и сложить их:

1. Вероятность первого выстрела — попадание: \[ P(1) = p = 0.3 \]

2. Вероятность второго выстрела — промах в первом и попадание во втором: \[ P(2) = q \cdot p = 0.7 \cdot 0.3 = 0.21 \]

3. Вероятность третьего выстрела — промахи в первых двух и попадание в третьем: \[ P(3) = q^2 \cdot p = 0.7^2 \cdot 0.3 = 0.49 \cdot 0.3 = 0.147 \]

4. Вероятность четвёртого выстрела — промахи в первых трёх и попадание в четвёртом: \[ P(4) = q^3 \cdot p = 0.7^3 \cdot 0.3 = 0.343 \cdot 0.3 \approx 0.1029 \]

Теперь давайте сложим все эти вероятности, чтобы найти общую вероятность того, что стрелку потребуется не более четырёх выстрелов:

\[ P(\text{не больше 4 выстрелов}) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) \]

Подставляем найденные вероятности:

\[ P(\text{не больше 4 выстрелов}) = 0.3 + 0.21 + 0.147 + 0.1029 \approx 0.7599 \]

Округляем до сотых:

\[ P(\text{не больше 4 выстрелов}) \approx 0.76 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется не больше четырёх выстрелов для первого попадания, равна 0.76.

[^1]: Этот пример показывает применение концепции геометрического распределения, где \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании.