Вычислите объем пирамиды, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями 8 см. и 14 см., углом при основании 45 градусов, высота пирамиды равна 10 см.
Чтобы вычислить объем пирамиды, нам сначала нужно определить площадь ее основания и затем применить формулу объема пирамиды.
Шаг 1: Находим площадь основания
В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция. Площадь трапеции можно найти по формуле:
\[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \]
где:
- \( S \) — площадь трапеции,
- \( a \) и \( b \) — длины оснований трапеции,
- \( h \) — высота трапеции.
В нашей задаче:
- \( a = 8 \) см (малое основание),
- \( b = 14 \) см (большее основание).
Теперь необходимо определить высоту трапеции. Для равнобедренной трапеции с известными основаниями и углом при основании (в данном случае 45 градусов), высота может быть найдена с помощью тригонометрии.
Шаг 2: Находим высоту трапеции
Находим длину боковой стороны \( c \):
- Боковая сторона равнобедренной трапеции образует треугольник с высотой и половиной разности оснований. Этот треугольник имеет угол 45 градусов.
Обозначим разность оснований: \[ \text{Разность оснований} = b - a = 14 - 8 = 6 \text{ см} \] Половина этой разности составляет: \[ \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]
В треугольнике с углом 45 градусов и по теореме Пифагора: \[ h = 3 \text{ см} \quad \text{(противолежащая сторона к 45 градусам)} \]
Шаг 3: Рассчитываем площадь трапеции
Теперь можем найти площадь основания: \[ S = \frac{(8 + 14)}{2} \cdot h = \frac{22}{2} \cdot 3 = 11 \cdot 3 = 33 \text{ см}² \]
Шаг 4: Рассчитываем объем пирамиды
Объем пирамиды можно найти по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H \] где:
- \( V \) — объем пирамиды,
- \( S \) — площадь основания,
- \( H \) — высота пирамиды.
В нашей задаче:
- \( H = 10 \) см.
Теперь подставим значения в формулу: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 33 \cdot 10 = \frac{330}{3} = 110 \text{ см}³ \]
Ответ
Объем пирамиды равен \( 110 \text{ см}³ \).
