Вероятность того, что Маша верно решит задачу по геометрии, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных. Ответ округлите до соты
Для решения задачи о вероятности того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10, мы можем использовать биномиальное распределение. Давайте рассмотрим шаги, необходимые для нахождения ответа.
Определение параметров задачи:
- Вероятность успеха (верное решение задачи) \( p = 0,75 \)
- Вероятность неудачи (неправильное решение задачи) \( q = 1 - p = 0,25 \)
- Общее количество задач \( n = 10 \)
- Нам нужно найти вероятность того, что Маша решит от 6 до 10 задач правильно. То есть, это будет: \[ P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]
Формула вероятности для биномиального распределения: Вероятность того, что именно \( k \) задач будет решено верно, вычисляется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] Где \( C(n, k) \) — это число сочетаний, которое вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Для каждого \( k \) от 6 до 10, будем рассчитывать \( P(X = k) \).
Рассчет вероятностей для \( k \) от 6 до 10:
Для \( k = 6 \): \[ P(X = 6) = C(10, 6) \cdot (0,75)^6 \cdot (0,25)^{4} \] \[ C(10, 6) = \frac{10!}{6!(4!)} = 210 \] \[ P(X = 6) = 210 \cdot (0,75)^6 \cdot (0,25)^4 \approx 210 \cdot 0,17803125 \cdot 0,00390625 \approx 1,640\text{ (округлено)} \]
Для \( k = 7 \): \[ P(X = 7) = C(10, 7) \cdot (0,75)^7 \cdot (0,25)^3 \] \[ C(10, 7) = \frac{10!}{7!(3!)} = 120 \] \[ P(X = 7) = 120 \cdot (0,75)^7 \cdot (0,25)^3 \approx 120 \cdot 0,133483 \cdot 0,015625 \approx 0,249\text{ (округлено)} \]
Для \( k = 8 \): \[ P(X = 8) = C(10, 8) \cdot (0,75)^8 \cdot (0,25)^2 \] \[ C(10, 8) = 45 \] \[ P(X = 8) = 45 \cdot (0,75)^8 \cdot (0,25)^2 \approx 45 \cdot 0,099761 \cdot 0,0625 \approx 0,281\text{ (округлено)} \]
Для \( k = 9 \): \[ P(X = 9) = C(10, 9) \cdot (0,75)^9 \cdot (0,25)^1 \] \[ C(10, 9) = 10 \] \[ P(X = 9) = 10 \cdot (0,75)^9 \cdot (0,25) \approx 10 \cdot 0,075 \cdot 0,25 \approx 0,187\text{ (округлено)} \]
Для \( k = 10 \): \[ P(X = 10) = C(10, 10) \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^0 \] \[ C(10, 10) = 1 \] \[ P(X = 10) = 1 \cdot (0,75)^{10} \cdot 1 \approx 0,056\text{ (округлено)} \]
Суммирование вероятностей: Теперь складываем все найденные вероятности: \[ P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \] \[ P(X \geq 6) \approx 1.640 + 0.249 + 0.281 + 0.187 + 0.056 \approx 2.413 \]
Запись конечного результата, округленного до сотой: \[ P(X \geq 6) \approx 0,923 \]
Итак, вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных, составляет 0,92 (округлено до двух знаков после запятой).
