при каких а уравнение ax²-x-1=0 имеет не брлее одного решения?
Чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) уравнение \( ax^2 - x - 1 = 0 \) имеет не более одного решения, нужно воспользоваться дискриминантом.
Уравнение общего вида \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) имеет одно решение (два одинаковых решения), если его дискриминант равен нулю, то есть:
\[ D = B^2 - 4AC = 0 \]
В нашей задаче:
- \( A = a \)
- \( B = -1 \)
- \( C = -1 \)
Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot (-1) \] \[ D = 1 + 4a \]
Для того чтобы уравнение имело не более одного решения, необходимо, чтобы дискриминант был меньше или равен нулю:
\[ 1 + 4a \leq 0 \]
Решим это неравенство:
Переносим 1 на другую сторону: \[ 4a \leq -1 \]
Делим обе стороны на 4: \[ a \leq -\frac{1}{4} \]
Таким образом, уравнение \( ax^2 - x - 1 = 0 \) будет иметь не более одного решения при следующих значениях \( a \):
\[ a \leq -\frac{1}{4} \]
Проверка:
Если \( a = -\frac{1}{4} \): \[ D = 1 + 4\left(-\frac{1}{4}\right) = 1 - 1 = 0 \quad (одно решение) \]
Если \( a < -\frac{1}{4} \): Например, \( a = -1 \): \[ D = 1 + 4(-1) = 1 - 4 = -3 \quad (нет решений) \]
Таким образом, мы подтвердили, что наш вывод верен: уравнение \( ax^2 - x - 1 = 0 \) имеет не более одного решения при \( a \leq -\frac{1}{4} \).
