Прямая y=2x+b касается окружности x²+y²=20 в точке с отрицательной абсциссой. Найди координаты точки касания. Запиши в ответе найденные координаты в формате (x;y) без пробелов.

Для решения задачи будем использовать свойства касательных и окружностей.

1. Запишем уравнения окружности и прямой.
   У нас есть окружность с уравнением:
   \[ x^2 + y^2 = 20 \]
   Прямая имеет вид:
   \[ y = 2x + b \]

2. Подставим уравнение прямой в уравнение окружности.
   Вместо \( y \) подставим \( 2x + b \):
   \[ x^2 + (2x + b)^2 = 20 \]
   Раскроем скобки:
   \[ x^2 + (4x^2 + 4bx + b^2) = 20 \]
   Сложим подобные члены:
   \[ 5x^2 + 4bx + (b^2 - 20) = 0 \]

3. Критерий касания:
   Чтобы прямая касалась окружности, дискриминант этого квадратного уравнения должен равняться нулю:
   \[ D = B^2 - 4AC = 0 \]
   Здесь, \( A = 5 \), \( B = 4b \), \( C = b^2 - 20 \).
   Подставим в формулу для дискриминанта:
   \[ (4b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (b^2 - 20) = 0 \]
   Упростим это уравнение:
   \[ 16b^2 - 20(b^2 - 20) = 0 \]
   \[ 16b^2 - 20b^2 + 400 = 0 \]
   \[ -4b^2 + 400 = 0 \]
   \[ 4b^2 = 400 \]
   \[ b^2 = 100 \]
   \[ b = 10 \quad \text{или} \quad b = -10 \]

4. Определяем координаты точки касания.
   Рассмотрим оба случая для \( b \):

   • Если \( b = 10 \):
     Подставляем \( b \) в уравнение прямой:
     \[ y = 2x + 10 \]
     Подставим в окружность:
     \[ x^2 + (2x + 10)^2 = 20 \]
     \[ x^2 + (4x^2 + 40x + 100) = 20 \]
     \[ 5x^2 + 40x + 80 = 0 \]
     Поскольку дискриминант будет неотрицательным, мы найдем корни, которые будут положительными.

   • Если \( b = -10 \):
     Подставляем \( b \) в уравнение прямой:
     \[ y = 2x - 10 \]
     Подставим в окружность:
     \[ x^2 + (2x - 10)^2 = 20 \]
     \[ x^2 + (4x^2 - 40x + 100) = 20 \]
     \[ 5x^2 - 40x + 80 = 0 \]

5. Решаем уравнение:
   Теперь решим квадратное уравнение:
   \[ 5x^2 - 40x + 80 = 0 \]
   Дискриминант:
   \[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 80 = 1600 - 1600 = 0 \]
   Поскольку дискриминант равен нулю, есть один корень:
   \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{40}{10} = 4 \]

   Подставляем \( x \) в уравнение прямой:
   \[ y = 2(4) - 10 = 8 - 10 = -2 \]

6. Координаты точки касания:
   Таким образом, точка касания с отрицательной абсциссой:
   \[ (x, y) = (4, -2) \]

Координаты точки касания: (4;-2).