Прямая y=2x+b касается окружности x²+y²=20 в точке с отрицательной абсциссой. Найди координаты точки касания. Запиши в ответе найденные координаты в формате (x;y) без пробелов.

Для решения задачи будем использовать свойства касательных и окружностей. 1. **Запишем уравнения окружности и прямой.** У нас есть окружность с уравнением: \[ x^2 + y^2 = 20 \] Прямая имеет вид: \[ y = 2x + b \] 2. **Подставим уравнение прямой в уравнение окружности.** Вместо \( y \) подставим \( 2x + b \): \[ x^2 + (2x + b)^2 = 20 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (4x^2 + 4bx + b^2) = 20 \] Сложим подобные члены: \[ 5x^2 + 4bx + (b^2 - 20) = 0 \] 3. **Критерий касания:** Чтобы прямая касалась окружности, дискриминант этого квадратного уравнения должен равняться нулю: \[ D = B^2 - 4AC = 0 \] Здесь, \( A = 5 \), \( B = 4b \), \( C = b^2 - 20 \). Подставим в формулу для дискриминанта: \[ (4b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (b^2 - 20) = 0 \] Упростим это уравнение: \[ 16b^2 - 20(b^2 - 20) = 0 \] \[ 16b^2 - 20b^2 + 400 = 0 \] \[ -4b^2 + 400 = 0 \] \[ 4b^2 = 400 \] \[ b^2 = 100 \] \[ b = 10 \quad \text{или} \quad b = -10 \] 4. **Определяем координаты точки касания.** Рассмотрим оба случая для \( b \): - Если \( b = 10 \): Подставляем \( b \) в уравнение прямой: \[ y = 2x + 10 \] Подставим в окружность: \[ x^2 + (2x + 10)^2 = 20 \] \[ x^2 + (4x^2 + 40x + 100) = 20 \] \[ 5x^2 + 40x + 80 = 0 \] Поскольку дискриминант будет неотрицательным, мы найдем корни, которые будут положительными. - Если \( b = -10 \): Подставляем \( b \) в уравнение прямой: \[ y = 2x - 10 \] Подставим в окружность: \[ x^2 + (2x - 10)^2 = 20 \] \[ x^2 + (4x^2 - 40x + 100) = 20 \] \[ 5x^2 - 40x + 80 = 0 \] 5. **Решаем уравнение:** Теперь решим квадратное уравнение: \[ 5x^2 - 40x + 80 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 80 = 1600 - 1600 = 0 \] Поскольку дискриминант равен нулю, есть один корень: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{40}{10} = 4 \] Подставляем \( x \) в уравнение прямой: \[ y = 2(4) - 10 = 8 - 10 = -2 \] 6. **Координаты точки касания:** Таким образом, точка касания с отрицательной абсциссой: \[ (x, y) = (4, -2) \] Координаты точки касания: **(4;-2)**.